[科普中国]-可修系统模型

对于可修系统，若运行过程中发生故障，就要维修。将一个系统从故障状态恢复到正常状态的维修能力，称为维修性。在“正常一故障一正常一故障”的反复过程中，系统所表现出的正常工作能力，称为可用性。系统可用性是可靠性与维修性的函数。

与不可修系统相比，可修系统的情形更为复杂。由于有维修的因素，系统故障后可予以修复，系统的运行随时间的进程是正常与故障两种状态交替出现2。

常见的可修系统模型有：

1. 马尔可夫过程模型：若部件的寿命及修理时间都是指数分布时，系统的状态可用时间连续状态离散的马尔可夫过程来描述。

2. 交替更新过程模型：系统的工作及修理的周期性变化由一个交替更新过程来描述。

3. 其他随机过程模型：用更复杂的随机过程，如马尔可夫更新过程等来描述系统的状态。

下面，先介绍可用性的常用指标及其符号，而且仅关注其单纯维修过程2。

一个可修系统在规定的条件下和规定的时间内完成修复的概率，称为修复度，记为。设以非负随机变量 表示一个故障系统的修复时间，则可修系统的修复度定义为

所谓“规定的条件”，是指维修的三要素：①可修系统的难易程度；②维修人员的技术水平；③备用件、工具等的准备情况。

所谓“完成修复的概率”，是指在规定的时间内，修理恢复一个故障系统原有规定功能的概率。维修度 越大，则故障系统在一定的时间 内就越容易修复。

所谓“维修”，不一定是系统停止运行后的修理，也包括系统在继续运行过程中的检修与维护。但凡能使系统恢复原有规定功能的工作，皆属“维修”的范畴。

在研讨修复度时，对于所谓“规定的条件”、“规定的时间”与“原有规定功能”等影响维修工作的各方面因素，都应有明确的界定。

设有已经故障的 个完全相同的系统，并且在相同的条件下同时开始维修，分别记录每个系统从开始修理到修复的时耗 。若从时刻 时，已记录修复的系统个数为 ，仍在修理的系统个数为 ，则有

当系统个数时，有

令

则

式(1)即系统修复度与未修复度的一种明确的数学模式。

由的实际含义易知：

当时， 当时，.

可靠度表示任一系统在时段内保持正常( 工作)状态的概率，而修复度则表示任一系统在时段内从故障(失效)状态恢复到正常( 工作)状态的概率。

如果可微分，即存在导数

则称为系统的修复概率密度函数。

设有个故障系统，在时刻被修复系统数目为，在时刻被修复系统数目为，则修复概率密度函数的估计值为

当系统数目足够多: ，而所考察的时间间隔足够短: 时，有

即，修复概率密度函数表示在任意时刻，故障系统总体中的任一系统在下一单位时间内被修复的概率。

一个可修系统在t时刻，其状态由“故障→正常”的转移速率，称为修复率，记为。修复率与故障率都表征在一定条件下系统状态在t时刻的变化速率，其区别在于: 修复率高，表示系统修复速度快，即系统由故障状态向正常状态转移的可能性大；而故障率高，则表示系统损坏速度快，即系统由正常状态向故障状态转移的可能性大。修复率也可理解为一批在t时刻处于故障维修状态的同类系统，在下一个单位时间内被修复的比率。设有个故障同类系统在0时刻同时开始维修，若到t时刻有个系统被修复，到时刻有个系统被修复，则该N个系统在t时刻的修复率为

因为

则式(2)可化为

又因

且有

其中与的函数关系如下：

若常数，则有

而系统的修复度为

式中表示t时段内系统未修复的概率，而()则是该时段内系统被修复的概率2。

可用性(availability)也称有效性，是指可修系统在规定的条件下运行时所具备的维持其规定功能的能力。定义中“规定的条件”包括系统的工作条件和维修条件。若能利用概率来度量，则可用性的尺度称为可用度2。

可用度是由可靠度与维修度有机合成的、关于系统可利用程度的指标，可谓广义可靠度，其对象包括没有发生过故障的系统与发生故障后修好的系统。为此，定义如下;

可用度A(t)——系统在任意时刻处于正常( 工作)状态的概率；

不可用度Q(t)——系统在任意时刻处于故障状态的概率。

因“系统可用”与“系统不可用”为互逆随机事件，故有

若系统运行充分长的时间后，能够达到稳态即统计平衡状态，则其状态变化率与状态概率就不再随时间变更，而均为常数: (故障率)、(修复率)、A(可用度)、Q(不可用度)，遂有

由此可见，若要增大系统的可用度A，则或须增大系统的平均工作时间MTBF，或须减少系统的平均修复时间MTTR。

又因系统处于稳态时，有

故有

平均周期是指可修系统每次工作时间加修复时间这段时间的期望值，记为MCT，有

故障频率是指可修系统在单位时间内发生故障次数的期望值，记为M。显然，故障频率M是平均周期MCT的倒数，即有2