[科普中国]-平面上最大倾斜线

定义

平面上与某一投影面成最大倾角的直线，称为平面上对该投影面的最大倾斜线，在平面上对某一投影面的最大倾斜线有无数条，它们是平面上的一组互相平行的直线。

平面上对某一投影面的最大倾斜线，是与平面上的该投影面的平行线相垂直的直线；它与该投影面的倾角，也就是平面对该投影面的倾角。2

相关性质分析如图1所示，在平面P上有一条水平线AB，过端点A在平面P上作AB的垂线AC，在平面P的水平迹线PH上与H面交得点C，AC与PH也交成直角。过点A作垂直于H面的投射线，与H面交得a，C点在H面上，其水平投影c就在原处，连a与c，ac就是AC的水平投影，AC与ac的夹角，即为AC对H面的倾角。在PH上任取一点D，点D的水平投影d也在D的原处，将A与D、a与d相连，则ad是平面P上直线AD的水平投影，AD与ad的夹角，也是AD对H面的倾角。从图中可见：由于在直角三角形ACD中，AD是斜边，所以AD>AC，于是就推导出。由此就证明了平面P上只有与水平线相垂直的直线，与H面的倾角最大，也就是平面P上的对H面的最大倾斜线。从而读者可以联想到：斜屋面上的雨水就是按斜屋面上的对H面的最大倾斜线的方向流下的；在斜面上如有一小球自由滚落时，滚落路线也就是过小球与斜面的接触点在斜面上所作的对H面的最大倾斜线。

由于平面P上的对H面的最大倾斜线AC⊥PH，按一边平行于投影面的直角的投影特性，ac也垂直PH，由此可知平面AaC既垂直于平面P，又垂直于H面，而AC、ac分别是平面AaC与P面、H面的交线，AC和ac所夹的平面角，就是平面P与H面的两面角，也就是平面P与H面的倾角，而AC和ac的夹角是平面P上的一条对H面的最大倾斜线与H面的倾角。由此也证明了平面上的对H面的最大倾斜线与H面的倾角，就是这个平面对H面的倾角。

同理可证：平面上与正平线相垂直的直线，是平面上的对V面的最大倾斜线，它与V面的倾角，就是该平面与V面的倾角；平面上与侧平线相垂直的直线，是平面上的对W面的最大倾斜线，它与W面的倾角，就是该平面与W面的倾角。

于是就推导了上述平面上的最大倾斜线的投影特性。

例题解析例题1 如图2（a）所示，已知△ABC，求作△ABC平面与H面的倾角α和与V面的倾角β。

解: 根据平面上对投影面的最大倾斜线的投影特性，在△ABC平面上分别作水平线和正平线；然后，再在△ABC平面上作它们的垂线，即为△ABC平面上对H面和V面的最大倾斜线；最后，作出对H面的最大倾斜线与H面的倾角和对V面的最大倾斜线与V面的倾角，就是△ABC平面与H面的倾角α和与V面的倾角β。

求△ABC平面与H面的倾角α的作图过程如图2b所示：

①过a'作OX轴的平行线，与b'c'交得d’；由d‘引投影连线，与bc交得d，连a与d。ad、a'd‘即为△ABC平面上的水平线AD的两面投影。

②过b作ad的垂线，与ad交得e；由e引投影连线，与a'd'交得e'，连b'与e‘。be、b'e'就是△ABC平面上对H面的最大倾斜线BE的两面投影。

③过b作be的垂线，在其上从b量取反映在V面投影中的点B与E的z坐标差∆z，得b0；连b0与e0在直角三角形ebb0中，b0e与be的夹角，即为BE与H面的倾角，也就是所求的△ABC平面与H面的倾角α。

求△ABC平面与V面的倾角β的作图过程如图2c所示：

①过c作OX轴的平行线，与ab交得f；由f引投影连线，与a’b’交得f’，连c'与f’。cf、c'f'’即为△ABC平面上的正平线CF的两面投影。

②过b’作c' f’的垂线，与c’f'的延长线交得g'；由g’引投影连线，与cf的延长线交得g，连b与g0bg、b'g’就是△ABC平面上对V面的最大倾斜线BG的两面投影。

③过g’作b' g’的垂线，即c'g'的延长线，在其上从g’量取反映在H面投影中的点G与B的y坐标差∆y，得g0；连b’与g0。在直角三角形b’g’g0中，b'g0与b'g’的夹角，即为BG与V面的倾角，也就是所求的△ABC平面与V面的倾角β。2