[科普中国]-共轭反对称函数

基本介绍

共轭反对称函数(conjugate antisymmetric function)是指具有共轭反对称特性的一种频谱函数，序列的傅里叶变换，通常称为序列的频谱函数，如果频谱函数满足，则称为共轭反对称函数，式中符号*表示复数共轭，奇序列的傅里叶变换，均为共轭反对称函数1。

详细介绍满足的函数称为共轭反对称函数。可以将写成

不难证明：共轭反对称函数的实部是的奇函数，虚部是的偶函数。

傅里叶变换作为的连续函数可以分解成共轭对称与共轭反对称函数之和，即

式中

且

如果将复序列的及其傅里叶变换之间的关系记为：则可以证明

(1)

(的实部的共轭对称分量)

(2)

(的虚部的共轭反对称分量)

(3)

(的共轭对称分量的实部)

(4)

(的共轭反对称分量的虚部)

注意： (1)和(3) 以及(2) 和(4)的对偶性质。

如果是实序列，则上述对称性变得特别简单和有用。

时域、频域序列都有实部和虚部，而它们又各有偶对称和奇对称分量，容易证明，各个分量之间的变换关系如图1所示。图中标出了时域、频域的共轭对称与共轭反对称分量2。

举例说明【例1】 证明：若时域序列只有实部，它的傅里叶变换的实部是偶函数，虚部则是奇函数。

解： 在正变换式中，等式左边是的函数。右边对变量n求和。复指数序列可写成。其中，和分别是n的偶函数(记为)和奇函数(记为)。包含偶部he和奇部ho。由实部Hr和虚部Hi组成。所以，正变换式可表示为

上式右边对n求和。由于he和是n的偶函数，而ho和是n的奇函数，所以求和后，第2项和第3项为0，而剩下第1项和第3项。第1项的是的偶函数，第4项的是的奇函数。由此可见，的实部是偶函数，虚部是奇函数2。

【例2】证明时域的共轭对称分量由实部的偶分量和虚部的奇分量组成，即

(下标“e”表示偶分量，“o”表示奇分量)

并说明时域的共轭对称分量的傅里叶变换只有实部。

**解：**共轭对称分量的定义是。先使的变量n改为一n，得。然后取共轭，得。于是本题得证。根据DTFT的奇偶虚实关系，时域的共轭对称分量的傅里叶变换只有实部2。