[科普中国]-反插值

设函数f的离散数据为(xi，yi)，yi=f(xi)，i=0，1，2，...，n，插值的目的是在x0，x1，x2，...，xn之间给定了自变量x的值后，要去求函数f的近似值，其途径是构造插值多项式，不同的构造方法，就是不同的插值法。与此相反，反插值的目的是在y0，y1，...，yn之间给定了函数f的值后，要去求自变量x的近似值，其途径仍是利用插值法。

反插值有两种处理方式：一种是直接利用函数f的插值多项式；另一种是在假设f-1存在的前提下，构造f的反函数f-1的插值多项式。因为反插值归结为求满足f(x)=c的x的近似值，这里c是在y0，y1，...，yn之间的某个值。如果f的反函数f-1存在，则x=f-1(c)。反插值就是求f-1在c上的近似值。当c=0时，反插值就是求函数f的近似零点，或者说是求方程f(x)=0的近似根，所以反插值有明显的意义1。

基本介绍反插值(inverse interpolation)是一种插值法，指利用插值函数反求满足某条件之自变量的近似值。设给定函数在个不同点上的值，欲求使之的近似值，这里是含的区间[α，β]中之某个值。反插值就是求的反函数在c处的近似值2。

方法步骤求的反函数在c处的近似值通常可由的牛顿插值公式，近似代替，再令，求出的近似，一般用逐次逼近法，先取使得满足，即

再求，使它满足，这里及为的一阶与二阶均差。由上式得到

然后用迭代公式

迭代至与在所要求精度下相等为止。也可直接利用反函数以为节点的牛顿插值多项式，用近似。

反插值及余项假设函数以表格形式给出如下：

|| || 表1

反插值就是要以函数的值来求自变量的的值。

设函数在含的区间上严格单调，则由高等数学知识可知，与是一一对应的，即存在反函数，此时反插值问题有唯一解存在3。

一般情况下，可用拉格朗日插值多项式或牛顿插值多项式，只须将与的位置互换即可。如用拉格朗日插值多项式对上表作反插值有

反插值的余项为

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学