[科普中国]-庞加莱不等式

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庞加莱不等式(Poincare inequality)是关于函数与其梯度的L^p范数的不等式，庞加莱不等式主要描述的是函数的广义导数的泛数值对该函数本身的泛数值的限制关系。

庞加莱不等式也是拉普拉斯特征值的一个不等式，即关于最小非零的拉普拉斯特征值的极大-极小原理，在整体分析和偏微分方程中有重要应用。

设含于一个宽度为h的条形区域内，， 则下列庞加莱不等式成立：

而不等式：

亦称为庞加莱不等式。若集合N={x∈Ω|u(x)=0}的中的测度|N|>0，则：2

庞加莱 - 维林格不等式设，Ω是具有Lipschitz边界的n维欧几里德空间Rn的有界连接的开放子集（即Ω是Lipschitz域）。 那么存在一个常数C，其值只取决于Ω和p，使得对于Sobolev空间W1，p（Ω）中的每个函数u，都有：

其中：是在上的平均值，表示区域上的勒贝格测度。当是球区域时，上述不等式叫做a(p,p)-庞加莱不等式。对更为普通的区域，上述不等式更为人熟知的名字是索伯列夫不等式。3

庞加莱常数庞加莱不等式中的最优常数C有时被称为域Ω的庞加莱常数。一般来说，确定庞加莱常数是一个非常艰巨的任务，取决于p的值和域Ω的几何形状。但是，某些特殊情况是易处理的。例如，如果Ω是具有直径d的有界，凸的Lipschitz域，则对于p = 1，庞加莱常数最多为d / 2，d / π（Acosta&Durán2004； Payne&Weinberger 1960），这是对庞加莱常数在单直径方面的最佳估计。对平滑的函数来说，这可以被理解为对函数的级集合的等效不等式的应用。 在一个维度上，这是Wirtinger对函数的不等式。

然而，在某些特殊情况下，可以具体确定常数C。例如，对于p = 2，众所周知，在单位等腰直角三角形的域上，C = 1 /π（