定义定义1
称随机变量序列 依分布收敛(convergence in distribution)于随机变量X,如果对 的任意连续点x,都有2
定义2弱收敛 设 是一个分布函数列,如果存在一个分布函数 ,使得在 的每一个连续点上有
成立,则称弱收敛于,并记为
依分布收敛 设为随机变量序列,是对应的分布函数列,如果存在一个具有分布函数的随机变量,使得则称依分布收敛于,并记作。
我们必须指出,只有分布函数序列收敛到一个分布函数时,我们才说它是依分布收敛的,这一说明是必要的,因为分布函数序列可能收敛到一个函数,而这个函数不一定是一个分布函数。3
实例分析例1 (均匀样本的最大值) 设 是独立同分布的随机变量,且都服从(0,1)区间上的均匀分布,令 问 是否依分布收敛、收敛于什么?
分析: 我们估计当 时 趋于1,事实上,由于 恒小于1,所以对任意 都有
又因为 独立同分布,所以
当 时趋于0,故 依概率收敛于1,然而,若令 ,则有
上式整理得
这就说明随机变量 依分布收敛于某参数为1的指数型随机变量。
注意,尽管我们定义的是随机变量序列依分布收敛,其实质却是累积分布函数而非随机变量的收敛性,因此依分布收敛与依概率收敛、殆必收敛有着本质区别,不过,另两种收敛都分别蕴含依分布收敛。2
例2 考虑具有退化分布的随机变量序列 若它的分布列为 这时 ,显然,对任意的x∈R,有
这表明序列 不收敛到一个分布函数。3
相关定理定理1如果随机变量序列 依概率收敛于随机变量X,则该序列也依分布收敛于X。2
定理2随机变量序列 依概率收敛于常数 当且仅当该序列依分布收敛于 ,即,2
等价于