[科普中国]-比较原理

概述

比较原理(comparison principle)是通过比较微分方程右端直接判断系统稳定性的一种原理。描述系统动力学特性的微分方程之右端是一个函数，由该函数值的大小可判定方程解的大小，从而可用于判别系统运动的有界性和稳定性。

微分方程的比较原理考虑微分方程

式中；（为中包含原点的某区域）为连续函数。

由微分方程解的存在性定理知，任取，存在方程的解满足，记为，并称其为过点的解。但一般不是唯一的，这些解或者在整个区间上存在，或者于某个有限时间离开的定义域。如果对向量，用表示，则有以下右行最大解的定义。

定义：设是方程的在区间上有定义且过点的解，若对此方程的任一个在区间上有定义且过点的解均有

则称是方程在区间上过点的右行最大解。

关于右行最大解的存在性，有以下定义。

定义：若定义在上的一个向量函数的每个分量均满足：当任意两向量和满足且时，不等式均成立，则称是对拟单调不减的。1

比较原理在稳定性分析中的应用研究系统

式中；；（为中包含原点的某区域）连续，满足解的右边整体存在唯一性条件且有。当研究渐近稳定性时，设是系统的孤立平衡点；当研究全局稳定性时，设是系统的唯一平衡点。

利用比较原理可将判定维系统零解稳定性的问题转化为判定一维比较方程零解的稳定性问题。

定理：对于系统，若存在向量函数满足：

1、；

2、各分量均连续，对满足局部的条件，且在中正定。1