[科普中国]-第二类贝塞尔函数

历史

贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在18世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出了，当时引起了数学界的兴趣。丹尼尔的叔叔雅各布·伯努利，欧拉、拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。1817年，德国数学家贝塞尔在研究开普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数。2

现实背景和应用范围贝塞尔方程是在圆柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的（在圆柱域问题中得到的是整阶形式 α =n；在球形域问题中得到的是半奇数阶形式 α =n+½），因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，最典型的问题有：

（1）在圆柱形波导中的电磁波传播问题；

（2）圆柱体中的热传导问题；

（3）圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题；

在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有用。譬如在信号处理中的调频合成（FM synthesis）或凯泽窗（Kaiser window）的定义中，都要用到贝塞尔函数。3

第二类贝塞尔函数贝塞尔方程是一个二阶常微分方程

必然存在两个线性无关的解。针对各种具体情况，人们提出了表示这些解的不同形式。

第二类贝塞尔函数(Bessel function of the second kind )亦称诺伊曼函数，下文有时会简称为Y函数，记作Yα。

第二类贝塞尔函数也许比第一类更为常用。 这种函数通常用Yα(x)表示，它们是贝塞尔方程的另一类解。x= 0 点是第二类贝塞尔函数的（无穷）奇点。

Yα(x)又被称为诺依曼函数（Neumann function），有时也记作Nα(x)。它和Jα(x)存在如下关系：

若α为整数（此时上式是0/0型未定式）则取右端的极限值。

从前面对Jα(x)的定义可以知道，若α不为整数时，定义Yα是多余的（因为贝塞尔方程的两个线性无关解都已经用 J 函数表示出来了）。另一方面，若α为整数，Yα便可以和Jα构成贝塞尔方程的一个解系。与 J 函数类似，Y函数正负整数阶之间也存在如下关系：

Jα(x)和Yα(x)均为沿负实半轴割开的复平面内关于x的全纯函数。当α为整数时，复平面内不存在贝塞尔函数的支点，所以J和Y均为x的整函数。若将x固定，则贝塞尔函数是α的整函数。右图所示为0阶、1阶和2阶第二类贝塞尔函数Yα(x)的曲线（α = 0,1,2）。3

渐近形式第二类贝塞尔函数在α非负时具有下面的渐近形式。当自变量x为小量，即时，有：

式中γ为欧拉-马歇罗尼常数（也叫欧拉常数，等于 0.5772156649...），Γ 为 Γ 函数。对于很大的x，即时，渐近形式为3：