[科普中国]-汇合型超几何函数

简介

汇合型超几何函数(confluent hypergeometric function)是汇合型超几何方程的基本解。汇合型超几何方程的标准形式为

在超几何方程中作代换 t=z/b，并令 b=β→∞（其结果是使超几何方程的两个奇点 t=1及∞“会合”）即得。

而汇合型超几何函数即函数

其中的积分路线称为波赫哈默尔围道（见右图），起点P在实轴上，arg t=arg(1-t)=0，分别绕t=1和t=0正向一周后，再分别绕t=1和t=0逆向一周，最后回到P点。

是的单值解析函数。

即库默尔函数。1

德国数学家库默尔库默尔在数论、几何学、函数论、数学分析、方程论等方面都有较大的贡献，但最主要的是在函数论、数论和几何三个方面。

在函数论方面。他研究了超几何级数，首次对这些级数的单值群的代换进行计算。他发明的级数变换法是相当有名的，在级数的数值计算中有广泛的应用。

在几何方面。他研究了一般射线系统，并用纯代数方法构作了一个四次曲面，它有16个孤立的二重点，16个奇异切平面，称之为库默尔曲面。

在数论方面。库默尔花的时间最多，贡献也最大。他研究过高斯（Gauss，Carl Friedrich，1777.4.30-1855.2.23）研究过的高次互反律，研究了数论中最困难的问题之一—费马大定理，创立了甚至比定理本身更重要的理想数理论。这不仅使得他的证明工作取得了空前的进展（除p=37、59、67外，证明了费马大定理当p﹤100时都成立），而且为代数学、函数论、方程论等学科提供了一个新的有效工具。这项成果因此而获得巴黎科学院奖金。在库默尔理想数理论的基础上，戴德金（Dedekind，Julius Wilhelm Richard Dedekind，1831.10.6-1916.2.12）创立了一般理想理论。库默尔的学说经戴德金和克罗内克（Kronecker，Leopold，1823.12.7-1891.12.29）的研究加以发展，建立了现代的代数数理论。

库默尔还是一个优秀的教师。一直热心教师之职将近20年。培养了不少数学家，其中最著名的有L.克罗内克、H.A.施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz，1843.1.25-1921.11.30）、P.A.哥尔丹（Gordan，Paul Albert，1837.4.27-1912.12.21）等。

库默尔全集在1975年才由施普林格出版社出版，由著名数学家A.韦伊（Weil，Andre,1906.5.6-1998.8.6）编辑，共两卷。韦伊在全集导言中说：“即使100年后，细心的读者仍会从中获得可观的教益”。2