[科普中国]-最小数原理

基本介绍

集合理论的重要性在于它的方法论意义，我们知道，有些数学问题所涉及的各个元素的地位是不均衡的，其中的某个极端元素往往具有优于其他元素的特殊性质，能为解题提供方便，而利用这种极端性的依据之一就是有关集合的一条简单性质。

最小数原理I 设M是自然数集的一个非空子集，则M中必有最小数。

最小数原理Ⅱ设M是实数集的一个有限的非空子集，则M中必有最小数。

推论 设M是实数集的一个有限的非空子集，则M中必有最大数。2

用最小数原理解决存在性问题由于最小数原理实际上是一个存在性定理，因而与证明大量存在性问题有着密切的关系，运用最小数原理处理存在性问题的关键首先是构造满足某种性质的数集M，然后利用M中的最小数证明命题。

【例1】设S为整数的非空集，满足：

（1）如果 那么

（2）如果 那么 ，

求证：在S中存在一个整数d，使得S由d的所有倍数组成。

**证明：**若S={0}，则命题显然成立。

若S≠{0}，设S+为S中所有正数组成的集合，则S+≠∅(这是因为，S非空，存在非零c∈S，由条件(1)知，0=c-c∈S，-c=0-c∈S，在c，-c中至少有一个为正)。从而S+中有最小数，记为d，由(2)，nd∈S(n∈Z)，即{nd|n∈Z} S。

另一方面，对任意的h∈S有h=nd+r，0≤r