[科普中国]-聚点原理

定理及证明

定理有界无穷点集至少有一个聚点(极限点)2。

此定理叫做聚点原理。

证明： 将包含在中心位于原点，各边平行于坐标轴的正方形内，若没有聚点，则对于中每一点z，存在这样一个邻域使得在这个邻域内只含的有限个点，且这些邻域的全体将复盖住，由有限复盖定理，在这些邻域中只要有限个邻域就将复盖住(当然是有界闭集)。这样一来，点集也只有有限个点属于，这与为无穷点集而又完全包含在k内相矛盾。从而定理成立2。

聚点的定义

任给存在无穷多个满足

则称为复数序列的一个聚点。

有的序列可以有多个聚点。例如，实数序列

就有两个聚点1和-1.当序列的极限存在时，序列的极限是此序列的唯一聚点。

推论及证明推论在扩充复平面上每一个无穷点集至少有一个聚点(有限点或无穷远点)2。

推论证明根据假设，对于E来说，只有两种可能，或者存在某一个圆域：它含有E的无穷多个点，因而含有E的聚点(由聚点原理得知) ，或者在每一个圆域内只有E的有限个点，此时在无穷远点的任意邻域: 内有E的无穷多个点，因此，点是E的聚点，从而推论得证。

规定在一个数列中如有某数重复出现无穷多次，则该数也看作数列的聚点，例如数列中0 是一个聚点，由于1在数列中出现无穷多次，故1也是聚点。按照这个规定，显然任何有界无穷数列必至少有一个聚点2。

有限复盖定理闭集先介绍闭集的概念。

如果点集E包含它的所有聚点在内，则称E为闭集。

定理介绍海恩-波莱尔定理（Heine-Borel）假设E为有界闭集，且对E内每一点z都作一个以这一点为圆心的圆域(这个圆的半径没有限制，它可以取任意正实数)，则在这些圆中必可以找到有限多个来把有界闭集E复盖住，换句话说，E的每一点至少属于这有限个圆域中的一个圆域的内部。此定理又叫做有限复盖定理，它是复变函数论里的重要定理。

下面应用数学分析中的矩形套定理来证明有限复盖定理。

证明: 如果E是有限集，定理显然成立。

设E是无限集，则我们用反证法来证明，设Q1为一个各边平行于坐标轴，以坐标原点为中心的正方形，并且将E包含在内，若定理不成立，则将Q1分成四个全等的正方形时，在这四个正方形上的E的四个子集中至少有一个不能用上述有限个圆心属于E的圆域所复盖，我们把这个子集所在的正方形记为Q，并且再把它用同样方式分成四个全等的正方形，同样，我们又得到一个正方形Q3，继续这种分法，我们得到Qn，它包含E的一部分，而且对这一部分来说，我们的定理是不成立的，也就是说，E的这一部分必须用无穷多个圆Kz才能复盖住，但因这些正方形组成了一个闭正方形套(特殊的矩形域套) ：

并且它们的对角线的长分别为

因此，。

根据闭矩形套定理，存在唯一一点属于所有这些正方形，于是当n充分大时，在的任一个邻域必须包含正方形Q，因而也就包含着E的点，并且是无穷多个点，不然的话，E的这个子集能够被有限个圆所复盖住，但这是不可能的。所以为E的聚点，因为E为闭集，所以属于E，设圆的半径为，选这样大的一个n，使得正方形的对角线的长小于，于是我们得到所有属于的E的点都被圆所复盖住，但是根据我们最初的假设，必须有无穷个圆才能把它们复盖住，这是个矛盾，从而定理得证2。

有限复盖定理的逆定理也成立。