[科普中国]-激波捕捉法

定义

激波捕捉法是双曲型方程数值解法中处理激波的一种方法。对激波不需作任何特殊处理，而在计算公式中直接或间接地引进“黏性效应”项，以便自动算出激波的位置和强度，来捕捉激波。1

简介激波捕捉法(shock capture methods)亦称激波抹平法，是一种激波数值处理方法。它们是一种在差分格式中直接或间接加人相当于粘性的项使间断光滑化的方法，它不考虑激波，在光滑区和间断处采用统一格式求解，使激波在应出现的地方自动呈现或被捕。直接加人VR人工粘性项的VR伪粘性法，通过差分格式结构间接引人粘性项的拉克斯格式、TVD法、戈杜诺夫方法等都属此类.自从美籍匈牙利数学家冯·诺伊曼(von Neumann, J.)和里希特迈耶(Richtmyer,R. D.)于1950年发表VR伪粘性法以来，激波捕捉法得到很大发展，它们算法简单、易于在计算机上实现，是现代计算流体力学的主导方法。

比较激波的计算方法大体可以分为激波捕捉和激波装配两种。捕捉方法无需事先知道激波位置，激波是在计算过程中自动得到的。这种方法如果没有特殊处理，数值解会在激波附近产生非物理振荡。尽管激波捕捉方法在过去20多年得到广泛研究和迅速发展，但其仍存在很多问题，如精度、稳定性等。而且这些问题很容易出现在基于非结构网格的高超声速流动计算中。相对激波捕捉方法，激波装配方法由于不存在这些数值问题，对其研究也是具有很大的实际意义。

激波捕捉差分方法研究湍流的直接数值模拟(DNS)、大涡模拟(LES)以及计算声学(CAA)等都对计算格式具有很高要求。通常，为了得到高品质的数值结果，需要采用谱方法、紧致格式或其他高阶格式。但是，当流场含有间断或弱间断时，采用线性格式计算会出现非物理解，这些非物理解常常影响和制约了数值计算精度，于是需要对格式做出相应的处理，其中尤为关键的是提高格式光滑捕捉激波的能力。

自上个世纪中后期以来，在计算含有激波的流场方面取得了不断的进步，并发展出了多种激波捕捉差分方法。比如TVD方法，近似Riemann方法,，ASUM类方法，ENO以及WENO方法，MP （monotonicity preserving）方法等。TVD、近似Riemann和ASUM等格式在航空航天工程中得到大量运用，但是，发展相应的高阶精度格式是及其困难的，比如传统的TVD格式在极值点的精度常降为一阶.ENO/ WENO格式在光滑捕捉激波的同时，也能在极值点保持高阶精度，被大量用于DNS和LES，但是在计算大梯度流场(比如边界层和热流计算)时不太理想，对接触间断的耗散也较大。MP方法的精度和分辨率都较高，但是在多维情况下和极值点附近的精度有所降低.

为了在光滑捕捉激波的同时又能提高格式精度，中国空气动力研究与发展中心的徐国华等融合了以下几点已经比较成熟的处理方法：1)矢通量分裂和迎风处理;2)限制器;3)TVD思想;4)特征投影;5)高精度计算格式特别是紧致格式。他们首先在矢通量分裂技术和迎风型格式的基础之上，把物理量(通量或守恒变量等)沿特征方向进行投影，然后通过具有TVD性质的限制器对投影量的变化幅值进行约束以避免发生非物理现象。针对以下5种不能光滑捕捉间断的线性迎风格式：二阶和三阶迎风显式格式，三阶、五阶和七阶迎风紧致格式，采用他们的激波捕捉方法进行处理后，得到了在间断附近基本上无虚假振荡的非线性激波捕捉格式，并在一维和二维Eider系统中通过数值计算验证了该方法的高阶精度和高分辨率。2

高精度无波动激波捕捉方法构造高精度、高分辨率的计算格式是计算流体力学工作者长期追求的目标，对于流动参数变化复杂的流动尤为重要。因此，近年来高精度计算方法的发展颇受重视,如紧致格式、高阶ENO格式和谱方法等竞相发展。刘秋生提出了基于Taylor展开的高精度计算方法：解析离散法。它的建立思想不同于传统的差分格式构造方法，是一类新型的计算格式。清华大学工程力学系李海东等以此为基础,建立适合应用于Burgers方程和Euler方程的间断捕捉方法。构造高阶精度激波捕捉方法的难点在于Euler方程可能出现数目和位置均未知的间断。通量差分分裂方法是基于Riemann问题的近似解，对于捕捉激波十分有效，而为了抑制间断附近的数值伪波动，又不降低光滑解区域的精度，必须采用一种保持光滑解高阶精度的通量限制器。他们有机地结合了Roe的通量差分分裂方法和一种新型通量限制器midmod，很好地解决了以上问题。一系列的数值实验结果表明，该方法对于激波间断和接触间断有很高的分辨率。并且在对一阶通量差分作三阶精度逼近时，计算量与二阶精度格式相比没有明显增加。3