[科普中国]-代数封闭模型

代数封闭模型(algebraically closed model )是一种类似于代数闭域的模型。设U是理论T的模型，如果对U的每一个T扩张B，一切在BA中成立的存在语句也都在UA中成立，则称U为代数封闭模型。

代数闭域代数闭域是一类重要的域。指次数大于1的多项式均可分解的域。若域K上多项式环K[x]中的每一个次数大于零的多项式在K中都有一个根，则称K为代数闭域.从而在K[x]中每个次数大于零的多项式能分解为一次因式之积.1910年，施泰尼茨(Steinitz，E.)在他发表的基本论文中首先证明：每个域都可以经代数扩张得到一个代数闭域。1

代数扩张代数扩张是一类重要的域扩张。设E是F的扩域，若E中元皆为F上的代数元，则称此域扩张为代数扩张，E称为F的代数扩域，否则称为超越扩张，而E称为F的超越扩域。代数扩张具有传递性。当α是F上代数元时，其单代数扩域F(α)同构于F[x]/(p(x))，p(x)是α的最小多项式，(p(x))表F[x]中由p(x)生成的主理想。

域代数学的基本概念之一。即具有两个运算的代数系。设F是至少含两个元的集合，在F中定义了两个二元运算：一个称加法，使F成为加群，它的单位元称为F的零元；一个称乘法，使F的非零元构成一个交换群，加法与乘法满足分配律，此时称F为域。例如，全体有理数、全体实数和全体复数在通常的加法与乘法下都构成域，分别称为有理数域、实数域和复数域。域是许多数学分支研究的基础，尤其对代数、代数数论、代数几何等更为重要。

域的扩张域的扩张是域论的基本概念之一。若域K包含域F作为它的子域，则称K是F的一个扩张(或扩域)，F称为基域，常记为K/F。此时，K可以看成F上的向量空间。研究扩域K(相对于基域F)的代数性质，是域论研究的一个基本内容。

若域E是F的扩域，K是E的扩域，则称E是域扩张K/F的中间域。若K/F是域扩张，S是K的子集，且F(S)是K的含F与S的最小子域，称F(S)为F添加S的扩域。当S={α1，α2，…，αn}是有限集合时，F(α1，α2，…，αn)称为添加α1，α2，…，αn于F的有限生成扩域(或者F上的有限生成扩张)。它由一切形如f(α1，α2，…，αn)/g(α1，α2，…，αn)的元组成，其中α1，α2，…，αn∈S，f，g是F上的n元多项式且g(α1，α2，…，αn)≠0。

由于这个原因，当F(α1，α2，…，αn)关于F的超越次数≥1时，F(α1，α2，…，αn)也称为F上的代数函数域。当S={α}时，称F(α)为F的单扩张域，也称本原扩域。F的有限代数扩域K是单扩域的充分必要条件是，扩域K与基域间存在有限个中间域。这是施泰尼茨(Steinitz，E.)证明的。1

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学