[科普中国]-简单合取式

定义

p,┐q等为一个文字构成简单析取式，p∨┐p，┐p∨q等为2个文字构成的简单析取式，┐p∨┐q∨r, p∨┐q∨r等为3个文字构成的简单析取式。

┐p,q等为一个文字构成的简单合取式，┐p∧p，p∧┐q等为2个文字构成的简单合取式,p∧q∧┐r, ┐p∧p∧q等为3个文字构成的简单合取式。

应该注意，一个文字既是简单析取式，又是简单合取式。为方便起见，有时用A1,A2,…,As表示s个简单析取式或s个简单合取式。

简单合取式的重要特点是它的成真指派很容易找到，且它的永假性也容易判定一个简单合取式是永假的，当且仅当它至少含一个变元及其否定1。

定理与证明（1）一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定式。

（2）一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有某个命题变项及它的否定式。

证明：设Ai是含n个文字的简单析取式，若Ai中既含有某个命题变项pj，又含有它的否定式┐pj，由交换律、排中律和零律可知，Ai为重言式。反之，若Ai为重言式，则它必同时含某个命题变项及它的否定式，否则，若将Ai中的不带否定号的命题变项都取0，带否定号的命题变项都取1，此赋值为Ai的成假赋值，这与Ai是重言式相矛盾。类似的讨论可知，若Ai是含n个命题变项的简单合取式，且Ai为矛盾式，则Ai中必同时含有某个命题变项及它的否定式，反之亦然。

如：p∨┐p，p∨┐p∨r都是重言式。 ┐p∨q，┐p∨┐q∨r都不是重言式1。