[科普中国]-线性泛函微分方程

线性泛函微分方程(linear functional differen-tial equation)是最重要的一类泛函微分方程，其中自治线性系统又是最基本的部分。线性系统理论涉及解的指数估计，通解的表示，常数变易公式，伴随系统，解的稳定性，振动性，有界性以及周期与概周期解，扰动线性系统等。

概念线性泛函微分方程(linear functional differen-tial equation)是最重要的一类泛函微分方程，其中自治线性系统又是最基本的部分。设L(t，φ)为R×C→R的线性算子，滞后型齐次和非齐次线性方程分别写成：

若xi(t，σ，φi)(i=1，2)是(1)过(σ，φi)的解，x*(t，σ，φ)是(2)过(σ，φ)的解，则对ᗄα，β∈R，

是(1)过(σ，αφ1+βφ2)的解，αx1(t，σ，φ1)+βx2(t，σ，φ2)+x*(t，σ，φ)是(2)过(σ，αφ1+βφ2+φ)的解。类似地叠加原理也成立。把(1)用有界变差阵表示为：

人们有如下解的整体存在定理：设(3)满足：

1.f∈Lloc([σ，+∞)，R)，即f在[σ，+∞)的任何紧集上勒贝格可积；

2.R(t，θ)关于θ有界变差，二元可测；

3.∃m(t)∈L(R+，R)，ᗄt∈R，ᗄφ∈C成立：

则方程(2)过(σ，φ)的解在[σ-r，+∞)存在且惟一。

由条件3可推出：

线性系统理论涉及解的指数估计，通解的表示，常数变易公式，伴随系统，解的稳定性，振动性，有界性以及周期与概周期解，扰动线性系统等。

泛函微分方程泛函微分方程是带有各种滞后量的微分方程(微分差分方程)、各种具有复杂变元的微分方程、带有滞后量的积分微分方程等一类方程的概括和抽象。

早在1750年欧拉所提出来的“求一曲线使之与其渐缩线相似”的问题就属于最早的泛函微分方程问题，所求的曲线就满足一个特殊的泛函微分方程。以后在各个学科中不断地提出相类似的问题，因此对泛函微分方程的研究具有重要的实际意义。20世纪40年代以前，人们围绕微分差分方程的解析解开展了许多工作。20世纪50年代以后，转向稳定性理论的研究。原苏联数学家克拉索夫斯基和日本数学家加藤敏夫等在这方面都有重要贡献。1

微分方程常微分方程与偏微分方程的总称。含自变量、未知函数和它的微商(或偏导数)的方程被称为微分方程。微分方程是数学的重要分支之一。它几乎与微积分同时产生，并随实际需要而发展。

微分方程的出现，可以追溯到16世纪与17世纪分野时期。在科学家创立对数的时候，第一次遇到本质上属于微分方程的问题。纳皮尔考虑了两个相关的连续直线运动，他的工作实质上相当于建立了微分方程：

的近似积分法。与此同时，伽利略所研究的自由落体运动，光的折射定律的发现以及笛卡儿提出并解决的“切线的反问题”等都包含着某种形式的微分方程问题。

从牛顿和莱布尼茨创立微积分到18世纪末是微分方程发展的第一个阶段。

牛顿和莱布尼茨在建立微分与积分运算时，指出了它们的互逆性，实际上是解决了最简单的微分方程y = f′(x)的求解问题。围绕某些质点动力学和刚体动力学的问题以及某些几何问题的研究，用微积分的方法很快就可以化为一阶或二阶常微分方程中的一些最简单的方程。

在18世纪前半叶，常微分方程不只是研究力学的基本工具，而且也是研究微分几何学和变分法的基本工具。18世纪中叶，由于数学物理中的问题，首先是关于弦振动的问题，开始了偏微分方程的研究。而在18世纪后半叶这种方程被推广到二维和三维的情形。在对位势理论的研究中又出现了调和方程。

在整个18世纪，对于各种具体的微分方程，已取得一定的成就：建立了一些特殊的积分法，把解化为初等函数及其积分表达式的方法，以及用近似积分法来求解等。

到18世纪末期，微分方程理论已发展成为一门极重要的数学学科，并且成为研究自然科学的有效工具。可用初等积分法求解的常微分方程的基本类型已经研究清楚;建立了几种系统的近似解法;引入了一系列基本概念，如微分方程的奇解、通解、全积分、通积分、特积分等;偏微分方程几何理论的基础已经奠定;二阶偏微分方程的一些经典类型也已确立等。

在这一时期，微分方程与变分法及微分几何的关系更加密切，并且应用到复变函数、三角级数、特殊函数与椭圆积分等许多领域。

到了19世纪，微分方程在数学分析的新概念和新方法的影响下进入了新的发展阶段。

首先提出来的是解的存在性问题。柯西的工作改变了18世纪人们相信微分方程的通解必定存在的观念。他提出了常微分方程中第一个定解问题(又称之为初值问题)，后被称为“柯西问题”，并给出该问题解的存在性与唯一性的证明。后来德国数学家李普希茨和法国数学家皮卡等改进了他的工作。

柯西还把存在性定理推广到高阶方程和一阶偏微分方程组在复数域的初值问题，俄国数学家柯瓦列夫斯卡娅在这方面也有重要工作，因此这个存在性定理现在通称为柯西—柯瓦列夫斯卡娅定理。

这些定理奠定了各种近似解法的基础，在整个19世纪都研究这些解法。微分方程的奇解理论也在19世纪得到发展。

19世纪上半叶，人们逐渐发现能用初等积分法求解的微分方程十分有限。与代数学中提出的方程根式可解性问题相似，在微分方程中也提出了用初等积分法求解的可能性问题。法国数学家刘维尔证明里卡蒂方程一般不能通过初等积分法来求解的事实改变了人们以往的看法。

与此同时，二阶偏微分方程理论得到进一步发展，并且与数学物理、弹性理论、复变函数论、三角级数和变分法密切相关。到19世纪前半叶已经取得了许多重要成果。特别是对热传导方程的研究所引出的函数用三角级数表示的问题对实变函数论和积分理论的发展都有重要意义。

在19世纪后半叶和20世纪初期，常微分方程理论中又出现了两个新的方向。一是常微分方程变换群理论的产生，二是常微分方程定性理论的建立。19世纪70年代，挪威数学家S.李把变换群理论应用于常微分方程理论的研究，并用这种方法把微分方程进行分类，建立解常微分方程的方法。与此同时，由于对天体力学及天文学中某些问题的研究，需要考虑由微分方程所确定的函数在整体范围内的性质，法国数学家庞加莱和俄国数学家李亚普诺夫建立了常微分方程定性理论。后来他们又研究了运动稳定性的一般问题。

20世纪以来，由于众多的边缘学科的产生和发展，微分方程的理论研究更加深入，应用范围更加广大。

在中国，1949年以来，微分方程的研究得到重视和发展。在全国各地都培养了一批优秀的微分方程工作者，在常微分方程和偏微分方程的许多研究方向上都做出了大量有水平的工作。1

本词条内容贡献者为:

孙和军 - 副教授 - 南京理工大学