[科普中国]-差分微分方程

简介

常微分方程是含有未知函数及其导数的方程，差分方程中含有未知函数及其差分，但不含有导数，微分差分方程是同时含有未知函数及其导数和差分的方程。它同时具有常微分方程和差分方程的特点，而以二者作为特殊情况。从历史发展看，微分差分方程的产生和发展并不是二者形式上的推广，而是来自许多不同学科的实际问题。

对一个物理或技术系统，往往要考虑时间延迟的作用。例如在火箭控制理论中，燃烧室压力x(t) 的运动方程为 ，压力的变化率x(t)不仅依赖于当时的压力x(t),而且明显的依赖于过去的压力状况x(t-τ)，τ称为时滞，它反映了燃料从射进燃烧室到即将燃烧的临界状态需要一段时间。这个方程是一种简单的含常数偏差变元的微分方程。

考虑含多个时滞的微分差分方程

式中，时滞 为常数，如果这些常数全为正，称方程为滞后型方程；如果全为负，则称为超前型方程。若方程右端有导数的滞后项 称为中立型方程。对于高阶方程或方程组也有类似的分类。

发展历史20 世纪30 年代起对偏差变元微分方程进行了系统的研究。

贝尔曼和库克(Bellman and Cooke,1963)，埃利斯戈尔茨(EI’sgol’tz,1964) 总结了1960 年以前的成果。

50 年代末H.H.克拉索夫斯基(Krasovskii 1959) 把偏差变元微分方程放到函数空间来考虑，如方程 中的偏差满足条件 ，则方程右端可看成是 上函数x(·) 的泛函，从而微分差分方程成为推动泛函微分方程发展的基本原型。微分差分方程特别是滞后型方程在物理学、力学、控制理论与技术，以及生物学、经济学领城都有广泛的应用。

初值问题滞后型方程 （其中 ）在时刻t₀的初值问题是在初值条件 ，下求t>t₀的解x(t)。通过把这个问题化为常微分方程的分步法，可以讨论解的存在性、唯一性问题，并对简单的方程逐步求解。在区间 上等价的常微分方程初值问题为 。

设 在 连续，且 ，φ(t)是区间 上的连续函数，则在区间 上方程 存在满足初值条件 的连续解 。

若 对 上每一个φ(t)，函数 是连续的，且f关于 在 的小邻城内满足利普希茨条件，则上述解是唯一的，并且解关于初值函数φ是连续依赖的。用不动点定理和格朗瓦尔(Gronwall)不等式可以证明上述存在性和唯一性。对于中立型方程，也可以用分步法求解，但初值函数φ应该是可微的。

若f关于变量有足够多次的连续导数，滞后型方程的解在向右开拓时，光滑度增加，若，x³(t)在上连续，而在处一般有第一类间断；至于向左边开拓，即使是一阶方程也不一定可能。

若式中时滞hᵢ为t的连续函数，，τ，γ为常数，以上的存在唯一性的结论仍然成立。1