[科普中国]-前导子理想

前导子理想(conductor ideal)是一种特殊的极大理想。设R是整环，R'是R在其商域K中的整闭包。

概念前导子理想(conductor ideal)是一种特殊的极大理想。设R是整环，R'是R在其商域K中的整闭包。若F={x∈R|xR'R}，则F是R的理想，也是R'的理想，称F是R在R'中的前导子。前导子是R的极大理想，也是R'的极大理想。

理想理想是集合论中的基本概念之一。设S为任意集合，若I⊆P(S)且满足：1

1.∅∈I；

2.若X，Y∈I，则X∪Y∈I；

3.若X，Y⊆S，X∈I，Y⊆X，则Y∈I；

则称I为集合S上的理想。理想的概念在现代数学的几乎每个分支中均有应用，且有许多变体或引申。例如，布尔代数上的理想即为集合上的理想的一种变体。设B为任意布尔代数，若B的一个子集I满足：

1.0∈I，1∉I(其中0，1分别为布尔代数B中的零元与么元)；

2.对任何u∈I，v∈I，有u+v∈I；

3.对任何u，v∈B，若u∈I且v≤u，又v∈I；

则称I为B上的理想。理想与滤子有非常密切的联系。

极大理想巴拿赫代数中的一个重要概念。设R是有单位元e的交换巴拿赫代数，M是R的一个真子代数。如果对ᗄx∈M，y∈R，都有xy∈M，则称M是R的一个理想(或幻)。如果对任何理想M′，由M′⊃M可推出M′=R，则称M为R中的极大理想。极大理想必是闭的。R中任何一个非正则元都含于某一理想中，且任一理想都包含于某一极大理想中。设M是R的极大理想，则商空间R/M同构于复数域。由哈恩-巴拿赫延拓定理，存在R上的连续线性泛函fM≠0，使fM(M)=0，且fM是R上的可乘线性泛函。反之，对R上任一可乘线性泛函f，其零空间Mf={x|f(x)=0}是R的一个极大理想，从而R中的极大理想与R上可乘线性泛函之间形成一一对应关系。这种对应关系在交换巴拿赫代数的表示理论中起重要作用。1

整环非退化为{0}且没有0因子的交换环称为整环。

环Z是整环。设n为非零自然数；为使环Z/nZ为整环，必须且只须n是素数。任一交换体是整环对任一整环A，系数取自A中含一个未定元的全体多项式之环A[X]，系数取自A中的全体形式级数之环A[[X]]都是整环。由此推知，系数取自交换体K中含p个未定元的全体多项式之环K[X1，X2，…，Xp]及含p个未定元的全体形式级数之环K[[X1，X2，…，Xp]]都是整环。

集合论数学的一个基本的分支学科，研究对象是一般集合。集合论在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域。按现代数学观点，数学各分支的研究对象或者本身是带有某种特定结构的集合(如群、环、拓扑空间)，或者是可以通过集合来定义的(如自然数、实数、函数)。从这种意义上说，集合论可以说是整个现代数学的基础，至多范畴论除外。

集合论是G.康托尔于19世纪末创立的。20世纪初对集合论的严格处理产生了公理集合论，由于对它的研究广泛采用了数理逻辑工具，集合论(公理集合论)又逐渐成为数理逻辑的一个分支，并从20世纪60年代以来获得迅速的发展。

集合论是在分析数学的研究中产生的，直接产生于三角级数的研究工作中。1854年黎曼提出，如果函数f(x)在某个区间内除间断点以外所有点上都能展开为收敛于函数值的三角级数，那么这样的三角级数是否唯一?但他没有回答。1870年海涅证明：当f(x)连续，且它的三角级数展开式一致收敛时，展开式是唯一的。进一步的问题是：什么样的例外的点(间断点)不影响这种唯一性?表述这些例外的点的整体的需要，产生了点集的概念，G.康托尔引入了直线上的一些点集拓扑概念，探讨了前人从未碰到过的结构复杂的实数点集。这是集合论的开端。

1874年，G.康托尔越过“数集”的限制，开始一般地提出“集合”的概念。他给集合下了这样一个定义：把若干确定的有区别的(具体的或抽象的)事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素，也说它属于该集合。有了集合概念，就可以定义出一系列有关的概念，集合论就产生了。1

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学