[科普中国]-正则局部环

简介

正则局部环是局部环的子类，有正则参数系的局部环(R,m)称为正则局部环，即m可由dimR个元素生成。

正则环[regular ring]

设(R,m)是一个诺特局部环。假设R的维数为d，则m的生成元组所含元素的个数至少为d。如果m可以有d个元素生成，则称 R 是正则局部环（regular local ring），此时，m的由d个元素组成的生成元组称为是R的正则参数系（regular system of parameters）。

对一般的诺特环R，如果对任意素理想p，都是正则局部环，则称R是正则环。

正则环一定是科恩-麦考莱的。正则环也一定是正规的。

例如，设F是域，则是正则环。

局部环[local ring]

设R是一个环，如果R含有唯一的极大理想m，则称R是局部环，记为(R,m)，有时也记为(R,m,k)，其中k=R/m是一个域。

注意到，若(R,m)是局部环，则m恰由R的所有非可逆元组成。

设𝖕是R的一个素理想，则R𝔭是局部环。

如果R含有有限多个极大理想，则称R是一个半局部环（semi-local ring）。1