[科普中国]-孤立素理想

概念

孤立素理想(isolated prime ideal)是一种特殊的素理想。代数几何中代数簇的相应概念在环中的引申。若环R的理想N有极小准素分解式：1

则属于N的素理想集Σ={P1，P2，…，Pn}(Pi=Qi)中的极小元Pi称为N的孤立素理想，而Σ中非极小元称为N的嵌入素理想。它们所对应的Qi分别称为N的孤立准素分支和嵌入准素分支。属于N的孤立素理想恰好是集合{P∈Spec R|PN}的全部极小元。孤立与嵌入来源于代数几何中相应代数簇的孤立与嵌入概念。

理想理想是集合论中的基本概念之一。设S为任意集合，若I⊆P(S)且满足：

1.∅∈I;

2.若X，Y∈I，则X∪Y∈I;

3.若X，Y⊆S，X∈I，Y⊆X，则Y∈I;

则称I为集合S上的理想。理想的概念在现代数学的几乎每个分支中均有应用，且有许多变体或引申。例如，布尔代数上的理想即为集合上的理想的一种变体。设B为任意布尔代数，若B的一个子集I满足：

1.0∈I，1∉I(其中0，1分别为布尔代数B中的零元与么元);

2.对任何u∈I，v∈I，有u+v∈I;

3.对任何u，v∈B，若u∈I且v≤u，又v∈I;

则称I为B上的理想。

素理想素理想是一类特殊理想。它是整数环中素数生成理想的推广。设P是环R的理想，对R中任意理想A，B，若ABP必有AP或BP，则称P为R的素理想。它等价于对x，y∈R，若xRyP则x∈P或y∈P。当R是交换环时，P是R的素理想当且仅当对R中任意元素a，b，若ab∈P，则a∈P或b∈P。素理想在交换环的理想理论中有重要作用。若对任意环R，a，b∈R，由ab∈P得出a∈P或b∈P，则称P为R的完全素理想。因此，对交换环来说，素与完全素概念是一致的。

代数几何代数几何是研究多项式方程组在仿射或射影空间里的公共零点集合的几何特性的数学分支学科。换言之，它是研究代数簇的。代数几何与许多其他数学分支有着密切的联系。通常假设代数簇V中点的坐标在某个固定域k中选取，k称为V的基域。V为不可约(即V不能分解成两个比它小的闭代数子簇的并)时，V上所有有理函数(即两个多项式的商)全体也构成一个域，称为V的有理函数域，它是k的一个有限生成扩域。通过这样的一个对应关系，代数几何可以看成是用几何的语言和观点来研究有限生成扩域。

代数几何的基本问题就是代数簇的分类。包括双有理分类与双正则分类(即同构分类)。若一个代数簇V1到另一个代数簇V2的映射诱导了函数域之间的同构，则称该映射为双有理映射。设有两个代数簇V1，V2，若V1中有一个稠密开集同构于V2的一个稠密开集，则称V1，V2是双有理等价的。这等价于V1和V2的函数域之间的同构.按这个等价关系对代数簇进行分类就称为双有理分类。分类理论是这样建立的：首先，找出代数簇的双有理等价类;其次，在这个等价类中找到一个好对象的子集，如非奇异射影簇，对它们进行分类;第三步就是确定一个任意簇与这些好的对象相差多远。因为任意特征0的基域上的代数簇都双有理等价于一个非奇异射影簇，所以为实现这三步，人们往往先找一组与非奇异射影簇对应的整数，称为它的数值不变量.例如，在射影簇的情形，它的各阶上同调空间的维数就都是数值不变量。然后试图在所有具有相同的数值不变量的代数簇的集合上建立一个自然的代数结构，称为它们的参量簇，使得当参量簇中的点在某个代数结构中变化时，对应的代数簇也在相应的代数结构中变化。目前，只有代数曲线、一部分代数曲面以及少数特殊的高维代数簇有较完整的分类。

20世纪初期，由于抽象代数方法的引入，抽象域上的代数几何理论建立起来了.特别是在20世纪50年代，塞尔(Serre，J.P.)把代数簇的理论建立在层的概念上，并建立了凝聚层的上同调理论，这为格罗腾迪克(Grothendieck，A.)随后建立概形理论奠定了基础.概形理论的建立使代数几何的研究进入了一个全新的阶段.概形的概念是代数簇的推广.粗浅地，它允许点的坐标在任意有单位元的交换环中选取，并允许结构层中有幂零元.概形理论把代数几何和代数数域的算术统一到了一个共同的语言之下，这使得在代数数论的研究中可以应用代数几何中大量的概念、方法和结果。

20世纪以来，复数域上代数几何中的超越方法也有重大的进展，例如，德·拉姆(de Rham，G.-W.)的解析上同调理论，霍奇(Hodge，W.V.D.)的调和积分理论的应用，小平邦彦和斯潘塞(Spencer，D.C.)的变形理论以及格里菲思(Griffiths，P.)的一些重要工作。这使得代数几何的研究可以应用偏微分方程、微分几何、拓扑学等理论。

代数簇代数簇是代数几何的基本研究对象。设k是一个域，域k上的代数簇就是一个整的、分离、有限型k概形。这里的基域k往往被取作代数闭域。若一个代数簇又是射影、拟射影、仿射或正常k概形，则把这个代数簇相应地称为射影、拟射影、仿射、完备(代数)簇。射影簇必定是完备簇，反之则不然。

设S是一个概型，φ是概型X到S的态射，则称X是一个S-概型，如果S=SpecR，则称X是一个R-概型。设f是概型X到Y的态射，如果△X/Y： X→XxYX，x→(x，x)是闭的浸入，则称X在Y上可分，若Y=SpecR，则称X是可分的。态射f：X→Y称为有限型的，如果存在Y的仿射开覆盖{Yλ|λ∈∧} 使得每个Xλ=f(Yλ) 可以被有限个仿射开子集覆盖，而Xλj=SpecBλj，Yλ=SpecAλ每个Bλj是有限生成的Aλ代数。若X→SpecR是有限型的，则称X是R-代数的。设k是一个代数闭域，V是一个整的，可分的在k上代数的k-概型，则我们称V是k上的一个代数簇。设(X，φ)，(Y，φ)是S-概型，f： X→Y是态射，如果→f=φ，则称f是S-态射。设X，Y是R-概型，令E={ (U，φ)|U是X的稠密开子集，φ：U→Y是R-态射}，在E上引入等价关系 (U，φ)～ (V，φ) 当且仅当对于U∩V的某个稠密开子集W，|w=Φ|W。E/～的元素称为有理映射，若Y=SpecR[X]，则称为有理函数，X上所有有理函数的集合记作RatR(X)。若V是域k上的代数簇，则RatR(V)称为V的函数域。设f是X到Y的有理映射，如果存在(U，φ)∈f，使得φ(U)是Y的稠密子集，则称f是控制的。设V，W是代数簇，f：V→W是控制的有理映射，如果存在有理映射g：W→V使得g◦f是恒等映射，则称f是双有理映射。V到V的所有双有理映射作成一个群，称为V的双有理同构群。如果有V到W的双有理映射，则称V与W双有理等价。一维的代数簇称为曲线，二维的代数簇称为曲面。曲面S上的曲线C是曲面S的一维闭子簇。2

环环是对并与差运算封闭的集类，测度论中重要概念之一。设F是Ω上的一个非空集类。如果它对集的并及差运算封闭，即对任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，则称F为Ω上的环。例如，若F是由实直线R上任意有限个左开右闭的有限区间的并集：

的全体构成的集类，则F是R上的一个环.环也是对于交与对称差运算封闭的集类，并按这两种运算成为布尔环。要把R上的勒贝格测度和勒贝格-斯蒂尔杰斯测度以及相应的积分理论推广到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集类并研究其性质。环以及半环、σ环、代数、σ代数等重要集类正是为了这一目的而引入的。3