[科普中国]-微局部分析

简介

微局部分析是现代偏微分方程理论研究中的一种有效的方法，依据“傅里叶变换中把关于x的微分运算变换微用对偶变量ξ替换，就有可能将微分方程的研究放到以x变化区域X为底流形的余切从上进行。变量ξ实际上代表着对偶空间中的方向，微局部分析就是精确到局部化的空间位置与局部化的方向上研究分布的方法。惠更斯关于波前集的构造法是微局部分析的物理原型。在拟微分算子及傅里叶积分算子理论中，常将所讨论的问题转化到余切从上。

应用微局部分析是偏微分方程算子理论中的一个重要的研究领域。在拟微分算子及傅里叶积分算子理论中，常将所论问题化为对相应的象征(及位相)的处理。实际上，现代微分算子理论是傅里叶分析的发展，而傅里叶分析就是一种谱分析(频谱分析)，这种频谱所在区域就是余切丛。还有许多问题必须放到余切丛上分析。

例如，按维纳-佩利-施瓦兹定理，一个函数或分布的正则性可用它的傅里叶变换在无穷远处的增长性来确定；而一个多元函数（分布）在各个方向的光滑性又对应着余切丛上纤维的各个锥向的增长情况。

与偏微分方程理论研究汇总常用的局部化技术相仿，微局部分析的方法往往是先在余切丛上每一点的锥邻域中作分析，再进行整体综合讨论。这种方法比单纯关于自变量进行局部化的方法更为灵活与有力。

例如，在研究微分方程解的奇性传播与偏微分方程的局部可解性时，只有用微局部分析的方法才能揭示问题的本质。此外，在研究微分算子的有界性时，傅里叶谱分析方法有时并不有效，此时人们常常用到李特尔伍德-佩利分解，而这种分解在余切从上有十分好的几何特征。

近年来，微局部分析方法还被进一步发展而用于处理各类非线性问题。1