[科普中国]-拉普拉斯变换法

形式定义

对于所有实数，函数f(t)的拉普拉斯变换是函数F(s)，定义为：1

参数s是一个复数：

为实数。

拉普拉斯变换的其他表示法中使用而非F。 是一个运算符号。

积分的含义取决于函数的类型。该积分存在的一个必要条件是在f必须在上局部可积。对在无穷大处衰减的局部可积函数或指数式，该积分可以理解为（恰当）勒贝格积分。然而，在很多应用中有必要将其视作在处条件收敛的反常积分。更一般的，积分可以在较弱的意义上理解，在下面会去处理。

可以用勒贝格积分定义拉普拉斯变换为有限博雷尔测度

一种特殊情况是当为概率测度，或者更具体地说，是[[狄拉克函数]]时。在运算微积中，拉普拉斯变换的测度常常被视作由分布函数f带来的测度。在这种情况下，为了避免混淆，一般写作

其中是 0的下限的简化符号

这个极限强调任何位于 0 的质点都被拉普拉斯变换完全捕获。虽然使用勒贝格积分，没有必要取这个极限，但它可以更自然地与拉普拉斯–斯蒂尔吉斯变换建立联系。

逆变换两个相异的可积函数，只有在其差的勒贝格测度为零时，才会有相同的拉普拉斯变换。因此以转换的角度而言，存在其反转换。包括可积分函数在内，拉普拉斯变换是单射映射，将一个函数空间映射到其他的函数空间。典型的函数空间包括有界连续函数、函数空间L(0, ∞)、或是更广义，在 (0, ∞) 区间内的缓增广义函数（函数的最坏情形是多项式增长）。1

拉普拉斯逆变换有许多不同的名称，如维奇积分、傅立叶-梅林积分、梅林逆公式，是一个复积分：

其中是一个使F(s)的积分路径在收敛域内的实数。另一个拉普拉斯逆变换的公式是由Post反演公式而来。

在实务上一般会配合查表，将函数的拉普拉斯变换分换为许多已知函数的拉普拉斯变换，再利用观察的方式产生其拉普拉斯逆变换。在微分方程中会用到拉普拉斯逆变换，会比用傅里叶转换的处理方式要简单。

性质和定理函数f(t)和g(t)的拉普拉斯变换分别为F(s)和G(s)：

单边拉普拉斯变换的性质：

和的拉普拉斯变换等于各项的拉普拉斯变换的总和。

一个函数的倍数的拉普拉斯变换等于该函数的拉普拉斯变换的倍数。

初值定理：

，要求F(s)为真分式，即分子的最高次小于分母的最高次，否则使用多项式除法将{F(s)分解

终值定理：

，要求sF(s)的所有极点都在左半复平面或原点为单极点。

由于终值定理无需经过部分分式分解或其他困难的代数就能给出长期的行为，它就很有用。如果F(s)在右侧面或虚轴上有极点，（例如f(t)=et}或 f(t)=sin(t)}）这个公式的行为就是未定义的。

应用实例拉普拉斯变换在物理学和工程中是常用的；2线性时不变系统的输出可以通过卷积单位脉冲响应与输入信号来计算，而在拉氏空间中执行此计算将卷积通过转换成乘法来计算。后者是更容易解决，由于它的代数形式。

拉普拉斯变换也可以用来解决微分方程，这被广泛应用于电气工程。拉普拉斯变换把线性差分方程化简为代数方程，这样就可以通过代数规则来解决。原来的微分方程可以通过施加逆拉普拉斯变换得到其解。英国电气工程师奥利弗·黑维塞第一次提出了一个类似的计划，虽然没有使用拉普拉斯变换；以及由此产生的演算被誉为黑维塞演算。

工程学的应用应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示，对于分析系统特性，系统稳定有着重大意义；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。