[科普中国]-通解结构定理

简介

通解结构定理(structure theorem of general solution)，是关于线性常微分方程解的结构性质的数学表述。

设n阶非齐次线性微分方程

的一个特解为 ，与(1)对应的齐次微分方程的n个解为 ；

非齐次线性线性微分方程组

(i=1,2,…,n)的一个特解也用 表示，与(2)对应的齐次微分方程组的n个解也用 表示。

齐次方程通解结构定理这时， 均为向量函数(参见“线性微分方程组”条目)，则关于齐次微分方程(组)的通解结构定理为：如果 是齐次方程(组)的一个基本解组，则

包含了方程(组)的所有解，其中 为n个任意常数。显然，解组(3)表示了方程(组)的通解。

非齐次方程通解结构定理关于非齐次微分方程(组)的通解结构定理为：非齐次微分方程(组)的通解等于它的对应的齐次方程(组)的通解与它本身的一个特解之和，即2

常微分方程发展历史常微分方程理论的形成与发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学和技术的发展密切相关并彼此促进和推动的。数学的其他分支的新发展，如代数、函数论、李群、拓扑学等都给常微分的发展以深刻的影响。目前计算机科学的高速发展，为常微分方程理论与应用的发展，也提供了很重要的条件。

早在18世纪，常微分方程发展的古典时期，由于力学、物理学、几何学等的需要，数学家曾吧注意力主要集中在求可用初等函数表示的通解上。在这个阶段，主要有莱布尼茨（Leibniz，G.W.）约翰第一·伯努利（Bernoulli，Johann，I）和欧拉（Euler，L.）等人的工作。他们得到了关于其次方程、线性方程和伯努利方程的通解求法。但后来人们发现，绝大多数微分方程都求不出通解，特别是刘维尔（Liouville，J.）于1841年证明了黎卡提方程在除了某些m的特殊值外，其通解不可能用初等函数和初等函数的积分表示。当然，对于一般的非线性方程更是如此。这样人们开始改变了原来的想法，不局限于求用初等函数表示的解，而去求它的近似解或者去研究满足这些条件的解的性质。近代电子计算机出现以后，微分方程数值解法发展成近代计算数学中的一个重要分支。

19世纪中叶以后，数学分析理论发生了重要的飞跃，在这个时期，柯西（Cauchy，A.L.）等人建立了严格的数学分析的基础，将新的概念和方法应用于常微分方程，并由实数域扩展到复数域进行研究，严格地建立了解的存在惟一性理论，为常微分方程理论的深入研究奠定了坚实的基础。这个时期柯西等数学家研究了对特定初始值求相应解的问题。这类定解问题称为微分方程的柯西问题，通称初值问题。这个时期，由于热传导和弦振动等数理方程的定解问题，因而就出现了由斯图姆（Sturm，J.C.F）和刘维尔等开创的微分方程边值问题与特征值问题的研究领域。2