[科普中国]-广义梯度

定义

广义梯度(generalized gradient)是梯度或导数概念的一种推广，这是克拉克(Clarke，F.H.)对于局部李普希茨函数类提出的概念，由此形成的理论目前已成为非光滑分析中最成熟的一部分，并且有广泛的应用2。

设f(x)在x附近是Lipschitz的，则我们称集合

是在处的广义梯度，记为。

相关性质共轭空间X*的范数定义为

则关于广义梯度有如下结果。

引理1设f(z)在x附近是Lipschitz 的，则

1) 是X* 中的一个弱*—紧的、非空凸集；而且对中任何都有。

2) 关系式

对一切都成立。

根据定义明显可见广义方向导数和广义梯度有如下关系。

引理2设f(z) 在 x 附近是Lipschitz 的，则

当且仅当

广义梯度对于数乘具有交换性，即对任何如果是有限个在 x 附近Lipschitz 的函数，则在x附近也是lipschitz 的，而且有关系式

如果每个都在x附近是Lipschitz的，在h(x)附近是Lipschitz的，则f(x)在x 附近是Lipschitz 的且有

其中表示弱*- 紧凸包。

利用引理2，我们可得到非光滑优化的一阶必要条件：

定理1如果f(z) 在x* 处达到局部极大或局部极小，且f(x) 在x*附近是Lipschitz 的，则必有

关于充分性条件，我们有以下定理。

定理2设f(x) 在X* 附近是凸的和Lipschitz 的，且

则x* 是f(x)的局部极小点。

我们还可得到一个关于严格(强) 极小点的充分性条件。

定理3设f(x) 在x*附近是凸的和Lipschitz 的，如果

则x* 是f(x)的严格(强)极小点，即存在使得

对所有充分靠近x*点处的x 都成立1。