[科普中国]-傅里叶反演公式

介绍

傅里叶反演定理认为如果我们有实数域R中的函数f满足特定条件，那么我们使用傅里叶变换定理：

可以得到：

换言之，根据此定理可以得到：

上一个方程叫做傅里叶积分定理。

适用条件当用于物理和工程时，经常使用傅里叶反演定理，假设一切都“表现得很好”。在数学中，这种启发式参数是不允许的，傅立叶反演定理包括什么类别的功能被允许的明确规定。然而，不存在“最好”的函数类，因此存在傅里叶反演定理的几个变体，尽管有兼容的结论。

施瓦茨傅立叶反演定理适用于所有施瓦茨函数（大致来说，平滑函数快速衰减，其衍生值全部衰减）。这个条件有一个好处，它是关于函数的一个基本的直接声明（与在其傅立叶变换上施加条件相反），定义傅里叶变换的积分和它的逆是绝对可积分的。该定理的这个版本被用于温度分布的傅里叶反演定理的证明（见下文）。

可积分傅里叶变换的积分函数傅里叶反演定理适用于具有绝对可积分傅立叶变换的绝对可积分的所有连续函数（即L1（ℝn））。这包括所有Schwartz函数，所以与前面提到的定理相比，这个定理的严格性更强。这些条件具有定义傅里叶变换的积分及其逆的绝对可积分的优点。这个条件是上面在语句部分使用的。

一个轻微的变化是放弃函数f是连续的但仍然要求它和它的傅立叶变换是绝对可积分的条件。然后f = g几乎在所有R中都满足：

其中g是连续函数。2

应用在傅里叶变换的应用中，傅里叶反演定理通常起着关键作用。 在许多情况下，基本策略是应用傅里叶变换，执行一些操作或简化，然后应用傅里叶逆变换。3

更抽象地，傅里叶反演定理是关于作为算子的傅立叶变换的陈述（参见功能空间的傅里叶变换）。 例如，f∈L2（ℝn）的傅里叶反演定理表明，傅里叶变换是f∈L2（ℝn）的单位运算符。1

傅里叶反演公式在物理学、声学、光学、结构动力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯等领域都有着广泛的应用。例如在信号处理中，傅里叶反演定理的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。

DFT在诸多多领域中有着重要应用，下面仅是颉取的几个例子。需要指出的是，所有DFT的实际应用都依赖于计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法，即快速傅里叶变换（快速傅里叶变换（即FFT）是计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法）。

1.频谱分析

DFT是连续傅里叶变换的近似。因此可以对连续信号x(t)均匀采样并截断以得到有限长的离散序列，对这一序列作离散傅里叶变换，可以分析连续信号x(t)频谱的性质。前面还提到DFT应用于频谱分析需要注意的两个问题：即采样可能导致信号混叠和截断信号引起的频谱泄漏。可以通过选择适当的采样频率（见奈奎斯特频率）消减混叠。选择适当的序列长度并加窗可以抑制频谱泄漏。

2.数据压缩

由于人类感官的分辨能力存在极限，因此很多有损压缩算法利用这一点将语音、音频、图像、视频等信号的高频部分除去。高频信号对应于信号的细节，滤除高频信号可以在人类感官可以接受的范围内获得很高的压缩比。这一去除高频分量的处理就是通过离散傅里叶变换完成的。将时域或空域的信号转换到频域，仅储存或传输较低频率上的系数，在解压缩端采用逆变换即可重建信号。4

3.OFDM

OFDM（正交频分复用）在宽带无线通信中有重要的应用。这种技术将带宽为N个等间隔的子载波，可以证明这些子载波相互正交。尤其重要的是，OFDM调制可以由IDFT实现，而解调可以由DFT实现。OFDM还利用DFT的移位性质，在每个帧头部加上循环前缀（CyclicPrefix），使得只要信道延时小于循环前缀的长度，就能消除信道延时对传输的影响。5