[科普中国]-阿达马因子分解定理

阿达马因子分解定理(Hadamard factorization theorem)是有穷级整函数的一种表示式。整函数是在平面的有限部分没有奇点的函数，例如多项式ez，sinz，cosz等，粗略地说，它们相当于初等实函数的类似物。

概念阿达马因子分解定理(Hadamard factorization theorem)是有穷级整函数的一种表示式。若函数f(z)是有穷级整函数，其级为ρ，则：

其中p(z)是f(z)的零点的典范乘积，h(z)是次数不超过ρ的多项式，m是f(z)在原点的零点的级。

整函数在平面的有限部分没有奇点的函数，例如多项式ez，sinz，cosz等，粗略地说，它们相当于初等实函数的类似物。

整函数是十分重要的一种单值复函数，许多数学家对它进行了深入研究。在这方面的第一个重要结果属于法国数学家柯西，他在1844年证明了每一个有界的整函数是一个常数。后来人们常把这个定理归于刘维尔，因为他在1847年也发表了这个定理。外尔斯特拉斯把实多项式分解为线性因式的定理推广到整函数，大约在1840年，他就得到了整函数的因式分解定理(1876年发表)。1879年，法国数学家皮卡建立了整函数取值范围的重要定理。稍后，法国数学家拉盖尔引进了整函数的格的概念，在某种意义上，它类似于多项式的次数。1883年，庞加莱建立了整函数的模与其格的关系的定理。阿达马研究了与此相反的问题，他在1896年给出了由函数f(z)的最大模的某种界来作出函数零点数的某种上界的估计。1897年，E.波莱尔引入函数增长级的概念，这是度量函数最大模增长速度的特征量，在整函数理论中起着重要作用。

19世纪末，E.波莱尔综合和改进了皮卡、庞加莱和阿达马的工作，开始形成整函数值分布论。1

全纯函数全纯函数即为解析函数。能局部展成幂级数的函数，它是复变函数论研究的主要对象。解析函数类包括了数学及其在自然科学和技术应用中所遇到的大多数函数，这类函数关于算术、代数和分析的各种基本运算是封闭的，解析函数在其自然存在的域中代表唯一的一个函数，因此，对解析函数的研究具有特殊的重要性。

对解析函数的系统研究开始于18世纪。欧拉在这方面做出许多贡献。拉格朗日最早希望建立系统的解析函数理论，他曾试图利用幂级数的工具来发展这种理论，但未获成功。

法国数学家柯西以他自己的工作被公认为是解析函数理论的奠基者。1814年他定义正则函数为导数存在且连续，他批判了过去许多错误的结果，创立了若干法则，以保证级数运算的可靠性。1825年他得到了著名的柯西积分定理，随后又建立了柯西积分公式。柯西利用这些工具得到了正则函数在它的定义域内处处可表为收敛的幂级数的结果，其逆命题亦真。所以解析和正则是等价的。后来黎曼对柯西的工作做出了重要的发展。1900年，法国数学家古尔萨改善了正则函数的定义，只要求函数在定义域中处处有导数。

外尔斯特拉斯以幂级数为出发点开展对解析函数的研究。他定义正则函数为可以展开为幂级数的函数，创立了解析开拓理论，并利用解析开拓定义完全解析函数。柯西的方法限于研究完全解析函数的所谓单值分支，必须通过解析开拓才能和外尔斯特拉斯的理论统一起来。

阿达马法国数学家。生于凡尔赛，卒于巴黎。早年攻读于巴黎高等师范学校，1892年获理学博士学位。先后在比丰中学、波尔多理学院、巴黎大学、巴黎综合工科学校和中央技术大学任教。他在法兰西学院创办了一个重要的讨论班。1912年当选为巴黎科学院院士，他还是美国、英国、原苏联等许多国家科学机构的成员和许多大学的名誉博士。阿达马早期的重要贡献在解析函数论，特别是泰勒级数的解析延拓理论方面，他在1892年的论文中，第一次把集合论引进复变函数论，得到许多重要结果，成为函数论的基础。他的《泰勒级数及其解析延拓》(1901)有很大影响。他进一步研究ζ函数，解决了长期未果的素数分布问题(1896)，从而奠定了解析数论的基础。在偏微分方程方面，他给出了适定问题的提法。他认为，对于拉普拉斯方程，狄利克雷问题是适定的;而对于双曲型方程，柯西问题则是适定的。他还建立了基本解的概念，明确了定解问题的涵义。他提出的发散积分的有限部分对解柯西问题有重要意义。阿达马对泛函分析也有重要贡献，他的《变分法教程》(1910)奠定了泛函分析的基础，其中建议以“泛函”一词来代替“线函数”，特别给出了用弧段上的连续函数所定义的线性泛函的一般表达式，成为里斯基本公式的先导。阿达马的工作遍及数学的许多分支，他的初等数学讲义在法国中学也颇为流行。1936年，阿达马曾应邀来中国清华大学讲学三个月。其代表作还有《数学领域中的发明心理学》(1959)。他的最后一部著作《偏微分方程论》在1964年译成中文，由科学出版社出版。1

本词条内容贡献者为:

孙和军 - 副教授 - 南京理工大学