[科普中国]-曲率形式

定义

曲率形式(curvature forms)是特征曲率张量的二次形式。2

令G为一个李群，记G的李代数为 。设 为一个主G-丛。令 表示E上一个埃雷斯曼联络（它是一个E上的g-值1-形式）。

那么曲率形式就是E上的g-值 2-形式，定义为

这里 表示标准外导数， 是李括号，而D表示外共变导数。或者说

表示向量丛上的曲率形式1

若 是一个纤维丛，其结构群为G，我们可以在相伴的主G-丛上重复同样的定义。

若 是一个向量丛则我们可以把 看作是 1-形式的矩阵，则上面的公式取如下形式：

其中 是楔积。更准确地讲，若 和 分别代表 和 的分量（所以每个 是一个通常的 1-形式而每个 是一个普通的2-形式），则

例如，黎曼流形的切丛，我们有 作为结构群而 是在 中取值的 2-形式（给定标准正交基，可以视为反对称矩阵）。在这种情况， 是曲率张量的一种替换表述，也就是在曲率张量的标准表示中，我们有

上式使用了黎曼曲率张量标准记号。

相关拓展比安基恒等式3

如果 是标架丛上的典范向量值 1-形式，联络形式 ω 的挠率是由结构方程定义的向量值 2-形式：

这里D代表外共变导数。

第一比安基恒等式（对于标架丛的有挠率联络）取以下形式：

第二比安基恒等式对于一般有联络的丛成立，并有如下形式：