[科普中国]-截面曲率

截面曲率 依赖于 点的切空间里的一个二维平面 。它就定义为该截面，考虑在p点以平面 作为切平面的曲面 ，这曲面是收集流形中某包含 的邻域内从p点出发的测地线且这测地线在 点的切向量属于截面 （换句话说就是其中 是 里包含原点的邻域），而截面曲率 就是曲面 在 点的高斯曲率。形式上，截面曲率是流形上的2维格拉斯曼纤维丛的光滑实值函数。

截面曲率完全决定了曲率张量，是非常有用的几何概念。

设为黎曼流形， 为上点处切空间中的二维平面，和为 中两个线性无关的向量。 则关于的截面曲率定义为1：

其中是的黎曼曲率张量。

常截面曲率的黎曼流形是最简单的类型。它们称为空间形式。通过缩放度量，它们有三种情况2：

1) 负曲率−1，双曲几何；

2) 零曲率，欧几里得几何；

3) 正曲率+1，椭圆几何。

三类几何的模型流形分别是双曲空间，欧几里得空间和单位球面。它们是对于这些给定的截面曲率唯一可能的完备单连通黎曼流形，所有其它常曲率流形是它们在某个等距映射群下的商。

1. 完备黎曼空间有非负的截面曲率，当且仅当函数对于所有点p是一个1-凹函数。

2. 一个完备单连通黎曼流形有非正截面曲率，当且仅当函数是1-凸函数。

黎曼曲率张量

黎曼流形的曲率

曲率