[科普中国]-非退化临界点

设是类流形，是类函数。点称为函数的临界点，如果在局部坐标下，等式成立。数称为函数的临界值，流形上所有其余的点将称为函数的非临界点，所有不是函数临界值的数称为这个函数的非临界值。

临界点称为孤立的，如果可找到它的这种邻域，在其中没有其它的临界点。临界点称为非退化的，如果二阶偏导数的矩阵是非退化的；反之，临界点称为退化的。

考虑二次型，其中，它称为函数在点p处的Hessian二次型。因矩阵A是对称的，二次型可通过适当地选取坐标，化为正则形式

如果A非退化，则。

数称为函数在点的指标，而数称为函数在点p的退化度2。

由公式给定一个上的函数，显然，偏导数

它们仅在点同时为零。因此点是孤立临界点，所有的二阶偏导数

在处也都为零，因此函数在点处的二阶偏导数的矩阵是零矩阵，而函数在点的Hessian二次型恒等于零，这表明，临界点是退化的，在点处，的退化度为2，指标为02。

临界点理论中的一个重要事实是：在临界点的附近函数可表示为二次型的形状，且函数的性态由它的指标来描述。

定理1(Morse引理) 设是函数的非退化临界点，则在点的某邻域U中存在这样的局部坐标系，使得，并且在U上成立以下恒等式

其中是点的坐标，而是函数在点p的指标。

设是上的Riemann度量，对每一点，选一个向量，使得以下条件成立：对任意的向量，成立等式

其中是函数在点的微分在向量处的值。所得的场称为函数的梯度场，记作。