[科普中国]-对称双线性形式

设σ是向量空间V上的两线性形式，如果σ(x，y)=σ(y，x)，x，y∈V，则称σ为对称双线性形式。

定义给出向量空间V上的两线性形式 如果

则 称为对称双线性形式1。

定义了对称双线性形式的向量空间 称为内积空间。 称为 中向量 和 的内积。

设 是内积空间 如果 则我们称：向量 和 是正交的，记成 设 是 的一个子空间，

称为M在V 中的正交补。

给出V的一组基 双线性形式 的矩阵表示是 如果 是对称的，则 是对称矩阵，即 。

设

所以

主要性质命题1 。

命题2 是内积空间， 的秩 。

命题3 是非退化的，当且仅当 。

命题4 。

引理5 。

定理6 。

定理7 是内积空间， 是非退化的，V中的映射 诱导一一映射： 它具有以下性质:

(1) ；

(2)

(3)

(4)

(5) 。

如果M是内积空间 的子空间， 是 在M上的限制： 当 如果 的秩 则M称为退化子空间。

引理8M是非退化子空间的充要条件是： 。

推论设 是非退化双线性形式，则： 是非退化子空间 也是非退化子空间。

定理9 是内积空间， 是非退化子空间，则 。1

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学