[科普中国]-希尔伯特类域

希尔伯特类域(Hilbert class field)亦称最大非分歧阿贝尔扩张。一种重要的类域。最早由希尔伯特(Hilbert，D.)于1898年至1899年猜出，后来发展为系统而一般的类域论。

概念希尔伯特类域(Hilbert class field)亦称最大非分歧阿贝尔扩张。一种重要的类域。最早由希尔伯特(Hilbert，D.)于1898年至1899年猜出，后来发展为系统而一般的类域论。数域k的希尔伯特类域K有下列性质：

1.伽罗瓦群G(K/k)与k的理想类群同构。

2.k的素理想p在K完全分裂当且仅当p为主理想。

3.K是k的最大非分歧(对有限和无限素除子)阿贝尔扩张。

4.k的任一理想到K均为主理想。

阿贝尔扩张

阿贝尔扩张是一类重要的域扩张。设K是域F的伽罗瓦扩域，若其伽罗瓦群G(K/F)为一阿贝尔群，则称此扩张为阿贝尔扩张，此时，K称为F上阿贝尔扩域。这是一类较广泛的域扩张。循环扩张、分圆扩张及库默尔扩张等均为阿贝尔扩张的特例。

域扩张域扩张是域论的基本概念之一。若域K包含域F作为它的子域，则称K是F的一个扩张(或扩域)，F称为基域，常记为K/F。此时，K可以看成F上的向量空间。研究扩域K(相对于基域F)的代数性质，是域论研究的一个基本内容。

若域E是F的扩域，K是E的扩域，则称E是域扩张K/F的中间域。若K/F是域扩张，S是K的子集，且F(S)是K的含F与S的最小子域，称F(S)为F添加S的扩域。当S={α1，α2，…，αn}是有限集合时，F(α1，α2，…，αn)称为添加α1，α2，…，αn于F的有限生成扩域(或者F上的有限生成扩张)。它由一切形如f(α1，α2，…，αn)/g(α1，α2，…，αn)的元组成，其中α1，α2，…，αn∈S，f，g是F上的n元多项式且g(α1，α2，…，αn)≠0。

由于这个原因，当F(α1，α2，…，αn)关于F的超越次数≥1时，F(α1，α2，…，αn)也称为F上的代数函数域。当S={α}时，称F(α)为F的单扩张域，也称本原扩域。F的有限代数扩域K是单扩域的充分必要条件是，扩域K与基域间存在有限个中间域。这是施泰尼茨(Steinitz，E.)证明的。1

类域代数数论的重要理论之一。它深刻地刻画了(相对)阿贝尔扩张.基本定理如下：若K/k为数域的有限阿贝尔扩张，伽罗瓦群为G=G(K/k)，则存在k的模f(称为K/k的导子，是k的一个除子)，使得对k的任意的模m，由f|m得出G同构于m射线类群I(m)/PmN(m)，式中I(m)为与m互素的k的理想集，N(m)为与m互素的K的理想到k的范全体，Pm为模m余1的α∈k生成的主理想集。且k的素除子v在K分歧当且仅当v|f；k的与m互素的素理想p在K完全分裂当且仅当p∈PmN(m)。反之，对k的任一模m及I(m)的任一含Pm子群H，总存在惟一阿贝尔扩张K/k，使得H=kPmN(m)且上述事实均成立。特别地，G(K/k)I(m)/H.更经常的是用伊代尔语言叙述类域论的定理。基本定理：若K/k为数域的有限阿贝尔扩张，则伽罗瓦群G(K/k)同构于Jk/kNJk，式中Jk为k的伊代尔群，NJK为K的伊代尔群到k的范。上述群的同构由阿廷映射给出。由此可得出，数域k的诸有限阿贝尔扩张K/k与Jk的含k诸开子群H之间一一对应，即K对应于H=kNJK，称为H的类域，G(K/k)Jk/H；这一对应是这两个格(对于复合(或积及交))的反向(包含关系)格同构。类域论有系统的定理和应用，有多种不同的表述方式。对于局部域的阿贝尔扩张有类似的定理(局部类域论)，对于有限域上的单变量函数域也有类似的定理。

希尔伯特德国数学家。出生于普鲁士的哥尼斯堡。1882—1885年在哥尼斯堡大学学习。在学期间，受到著名数学家雅可比、维尔斯特拉斯、费·纽曼、韦伯等人的指导，大大激发了数学兴趣和才能。他的两上好友A·胡尔威茨和闵可夫斯基对他数学方面的成长也产生过巨大的影响。 1885年，他因不变式理论方面的论文获博士学位。 1892年任母校的数学副教授。1895年由F·克莱因的提议担任了哥廷根大学的教授。哥廷根大学是具有优秀数学传统的学府，高斯、黎曼等人曾在这里工作。希尔伯特在这里团结了一大批当代的著名数学家和物理学家，使哥廷根成了20世纪前期世界数学的中心与理论物理学家聚会的场所。他逝世的前一年被柏林科学院授予荣誉院士的称号。希尔伯特不愧是本世纪领头的数学家。他的数学兴趣十分广泛，并且所到之处都留下了光辉足迹。早期研究不变式理论。采用直接的、非算法的方法证明了果尔丹证明的代数不变式整基有限完备系的存在定理，对后来的抽象代数的发展起了推动作用。重新整理了欧几里得几何的公理体系，于1899年发表了 《几何基础》一书，把欧几里得几何整理为从公理出发的纯粹演绎系统，并把注意力转移到公理系统的逻辑结构，成为近代公理化思想的代表作。他提出的狄里克莱原理以及对积分方程、变分法、华林问题的研究，在数学史上都很有意义。晚年致力于数学基础问题，把公理系统的无矛盾性看成数学可靠性的标准，是数学基础中形式主义学派的代表人物。1990年他在巴黎国际数学家代表会上的讲演中提出23个数学问题，概括了19世纪数学发展中暴露的主要问题，后来称为希尔伯特问题。对西方的数学研究有较大的影响。希尔伯特为后人留下的著作有《数论报告》、《线性积分方程一般理论基础》、《几何基础》，以及其他论文3卷，还有与别人合写的 《数理逻辑基础》、《数学物理方法》、《直观几何学》、《数学基础》。1

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学