[科普中国]-全分歧扩张

全分歧扩张(totally ramified extension)是一类有限赋值域扩张，它是与非分歧扩张相反的概念。赋值域(F，B)的一个有限扩张(K，C)，若分歧指数e(C|F)=[K∶F]，则称此扩张为全分歧扩张。此时，B对于K是无亏损的，且C是B在K上的惟一拓展1。

定义设 是完备离散赋值域的有限扩张，以 表示E的赋值环和素理想， 表示F的赋值环和素理想，而 和 分别表示E和F的剩余类域。令 ，则 。如果(从而 )，称 为不分歧扩张。如果 (从而 )，称为完全分歧扩张(或纯分歧扩张)。

完全分歧扩张的刻画首先回忆

称为Eisenstein多项式是指.

定理1设是完备离散赋值域的有限扩张，是E的一个素元。

(1)若是完全分歧的，则，并且在F上的最小多项式为Eisenstein多项式。

(2)反之，若，并且在F上的最小多项式是Eisenstein多项式，则是完全分歧扩张，并且是E的一个素元。

定理2设为n次扩张且可分，则存在中间域使为非分歧扩张，为完全分歧扩张；且有单位使为的整基。

例1当p为奇素数时，和均是Eisenstein多项式，所以和都是的完全分歧扩张。对于p=2，同样可知是的完全分歧扩张，进而对和，我们有，而和在上的极小多项式和都是对的Eisenstein多项式，所以和也是的完全分歧扩张2。

不分歧扩张的刻画定理3(1)设是不分歧扩张，如果，取元素，使得，则，并且若是在F上的极小多项式，则是在F上的极小多项式。

(2)若是中首1多项式，。如果(在的代数闭包中)没有重根，则是不分歧扩张。

引理设是完备离散赋值域的有限扩张，并且是有限域。

(1)对于，则不分歧当且仅当和均不分歧。

(2)若是有限扩张，不分歧，则不分歧。

(3)若均不分歧，则不分歧。

定理4(1)设是中的次本原单位根，并且与p互素，以n表示满足的最小正整数，则是的n次不分歧扩张，并且这是伽罗瓦扩张，其伽罗瓦群是由自同构生成的n次循环群，其中。

(2)对每个，都存在惟一的n次不分歧扩张。

(3)设是有限扩张，则存在中间域F，使得为不分歧，而是完全分歧2。

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学