[科普中国]-极化恒等式

定义

当是内积空间，是由内积所导出的范数时，内积也可以用范数来表达。当是实内积空间时

当是复内积空间时

这两个等式可以直接从内积的定义导出。等式(1)和(2)称为极化恒等式2。

相关定理Aldaz(2009)给出了如下有意义的结果2。

定理1设是复内积空间，对任意非零向量，有

特别地，当是实内积空间时，

证明： 由极化恒等式(2)得到

以分别代替和，并展开右端第一项即可得到式(3)和式(4)，式(5)的证明是类似的。证毕。

在定理1条件下，成立恒等关系

定理2设是复内积空间，对任意非零向量，有

**证明：**不妨假设是单位向量，由式(3)知，

等号成立当且仅当存在使得，证毕2。

由式(6)容易得到GBS不等式。