[科普中国]-一致凸赋范线性空间

概念

一致凸赋范线性空间(uniformly convexnormed linear space)是满足一致凸性的一类赋范线性空间。赋范线性空间(X，‖·‖)称为是一致凸的，如果对任意的ε>0，存在δ>0，使得当‖x‖≤1，‖y‖≤1并且‖x-y‖≥ε时，必有‖x+y‖≥2-δ成立。 是一致凸的。一致凸的巴拿赫空间是自反的。2

一致凸空间是巴拿赫空间几何理论的一个重要概念，它是克拉克松(Clarkson，J.A.)于1936年为研究拉东-尼科迪姆性质而引入的，他开创了从巴拿赫空间的几何结构出发来研究巴拿赫空间性质的方法。巴拿赫空间的几何学近年来已成为巴拿赫空间理论研究中人们特别感兴趣的一个领域。

赋范线性空间一类可以引进“长度”概念的线性空间。设X是线性空间，X上满足下列条件的实值函数p(·)称为X上的范数：

1.p(x)≥0(x∈X);p(x)=0⇔x=0.

2.p(αx)=|α|p(x)(α为数，x∈X).

3.p(x+y)≤p(x)+p(y)(x，y∈X).

对x∈X，p(x)称为x的范数，通常记为‖x‖。赋有范数的线性空间(X，‖·‖)称为赋范线性空间，简称赋范空间。

设v是一个线性空间，对v中每个元素a，有一个实数‖a‖与之对应，且具有以下性质：1. ‖a‖≥0，当且仅当a为零时，‖a‖=0; 2.‖ka‖=|k1‖α‖，特别‖-α‖=‖α‖;3.‖α+β‖≤‖α‖+‖β‖，则称v为赋范线性空间。‖α‖称为α的范数(模)。

拉东-尼科迪姆性质拉东-尼科迪姆性质是向量值测度可能具有的一个重要性质，有关问题是理论研究中的重要课题。设(Ω，F，μ)是有限测度空间，X是巴拿赫空间，B(Ω，X，μ)代表定义在Ω上而取值于X的博赫纳可积函数全体。如果对每个定义在F上而取值于X的有界变差且关于μ绝对连续的向量值测度E，均存在f∈B(Ω，X，μ)，使得：

E(A)=(B)∫Af(t)dμ (A∈F)，

则说X关于(Ω，F，μ)具有拉东-尼科迪姆性质。如果X关于一切有限测度空间均具有拉东-尼科迪姆性质，则说X具有拉东-尼科迪姆性质。博赫纳(Bochner，S.)于1932年提出了如今以他的名字命名的向量值函数的积分——博赫纳积分，并且考虑将数值测度论中的拉东-尼科迪姆定理推广到向量值测度的情况。但是，博赫纳发现，对巴拿赫空间L[0，1]，这种推广是不可行的。因此，需要讨论拉东-尼科迪姆定理成立的条件，这样便产生了巴拿赫空间具有拉东-尼科迪姆性质的概念。伯克霍夫(Birkhoff，G.D.)于1935年证明，希尔伯特空间具有拉东-尼科迪姆性质。克拉克松(Clarkson，J.A.)于1936年引入了一致凸空间的概念，并证明了一致凸巴拿赫空间具有拉东-尼科迪姆性质。盖尔范德(Гельфанд，И.М.)和莫尔斯(Morse，H.M.)于1936年证明了具有有界完全基的巴拿赫空间具有拉东-尼科迪姆性质。盖尔丰德(Гелъфонд，А.О.)于1938年证明了自反巴拿赫空间具有拉东-尼科迪姆性质。现在，关于拉东-尼科迪姆性质的研究仍是一个引人注目的课题，并且已经取得了大量的成果。3

巴拿赫空间完备的赋范线性空间被称为巴拿赫空间，是泛函分析研究的基本内容之一。

20世纪以来，当人们研究了许多具体的无限维空间及其上面相应的收敛性以后，自然而然地转向抽象形态的线性空间以及按范数收敛的概念。德国数学家希尔伯特、法国数学家弗雷歇和匈牙利数学家里斯在1904—1918年间所引入的函数空间是建立巴拿赫空间理论的基础。在这些空间里，强收敛、弱收敛、紧性、线性泛函、线性算子等基本概念已经得到初步研究。

1922—1923年，波兰数学家巴拿赫、奥地利数学家哈恩和美国数学家N.维纳等分别独立地引入了赋范线性空间的概念，并以巴拿赫的姓氏来命名。1922年，巴拿赫开始根据他所引入的公理来系统研究已有的函数空间，得到深刻的结果;同一年，哈恩从当时分析数学的许多成果中提炼出共鸣定理;1922—1923年巴拿赫得到压缩映射的不动点定理、开映射定理。1927年和1929年哈恩和巴拿赫先后证明了完备赋范空间上泛函延拓定理，引入了赋范线性空间的对偶空间(当时称之为极空间)，这个定理的推广形式后来在局部凸拓扑线性空间理论中起了重要作用。1931年，巴拿赫写成《线性算子理论》。至此，完备赋范线性空间理论的独立体系已基本形成，并且在不到十年的时间内便发展成本身相当完整而又有多方面应用的理论。

巴拿赫代数泛函分析的新分支之一，研究带有乘法的巴拿赫空间的性质及其应用。

20世纪30年代初，代数环论的重要进展以及它在群表示论上的应用，引起美国数学家冯·诺伊曼的兴趣，他于1935年开始研究希尔伯特空间上有界线性算子的弱闭子环，获得完整而深入的结果，后人称这种算子环为冯·诺伊曼代数。当时也有人进行过关于交换赋范代数的研究，但一直没有建立起一般理论。

从20世纪30年代末至40年代初，原苏联数学家盖尔范德在定义一般赋范环R后，引进极大理想的概念，建立了R的特征标空间到R的极大理想空间之间的——对应关系，定义了现被称为盖尔范德变换的映射，并证明每个赋范环R都能同态地映射到由R的极大理想构成的豪斯多夫空间上的连续函数环中，等等。他还把此前希尔伯特空间中线性算子的谱论推广到赋范代数的元素上，从而建立一般谱论，他定义了R的元素X的谱。为使谱这个概念富有成效，他假定R是完全的，这就是巴拿赫代数。他证明了巴拿赫代数中任一元素X的谱的性质，得到X的谱半径的优美公式。

盖尔范德建立的巴拿赫代数理论，几十年来一直是泛函分析最活跃的研究领域之一。它不仅成为研究局部紧群理论的重要工具，而且在研究经典分析的某些课题中也取得了重要成果。4