[科普中国]-抽象积分

抽象积分(abstract integral)是勒贝格积分的进一步抽象，是现代分析数学中的重要工具之一。设(Ω，F，μ)是测度空间，f(x)是(Ω，F)中的可测函数，建立抽象积分∫Ωf(x)dμ的步骤与建立勒贝格积分或勒贝格-斯蒂尔杰斯积分的步骤基本相同，只需在定义中将勒贝格测度换成一般测度μ，相应的非负简单函数、非负可测函数、一般可测函数换成测度空间中的同名函数即可。对于积分存在和可积两个概念也做类似定义，当(Ω，F，μ)是完备测度空间时，抽象积分的性质与勒贝格积分的性质基本相同，也有关于积分收敛性的三大定理(列维定理、法图引理、勒贝格控制收敛定理)。也可以引进平均收敛等概念，并且与几乎处处收敛、依测度收敛、近于一致收敛的关系也一样，仅需做明显的文字和记号修改。

基本介绍积分的概念可从不同的观点出发向各种不同的方向抽象化。它大致可以分为两个方向，一个方向是对取值于局部凸拓扑线性空间(不一定是数空间)的函数或测度定义积分(简称为在拓扑线性空间上的积分)，另外一个方向是把和序关系有关的积分抽象化。下面对各方向取其有代表性的两个积分予以叙述。

拓扑线性空间上的积分**拓扑线性空间上的积分(Bochner积分)**设为定义在有限测度空间上，取值于Banach空间X中的函数，如果在使

的互不相交的F可测集上，x(s)分别取常量，就称它为阶梯函数(step function)或有限值函数(finite-valued function)。使用的定义函数，可以把这个阶梯函数表示为

如果对于能选取适当的阶梯函数序列，使得在S上对几乎一切s，

成立，则称为强可测的(strongly measurable)。当为强可测，且作为S上的实值函数为Lebesgue可积时，则定义为Bochner可积的(Bochner integrable)(由的强可测性可以得到的可测性)。特别当是Bochner可积的阶梯函数

时，其Bochner积分定义为

一般地说，对于Bochner可积函数，可以证明，存在满足下列条件的Bochner可积的阶梯函数序列：

i)对几乎一切S，

ii)

(例如，由的强可测性得到，存在阶梯函数序列 ，对几乎一切s，它强收敛于，对此，如下地定义阶梯函数序列：当时，令；当时，令；则满足上述条件i)，ii)。)从而对于这样的强收敛，且其极限不依赖于的选择方法。而的Bochner积分(Bochner integral)，就定义为

为了和其他积分加以区别，有时把Bochner积分写作。Bochner可积函数在任意的F可测集上都是Bochner可积的，除此之外，Lebesgue积分的几乎所有性质(线性，完全可加性，绝对连续性，Lebesgue收敛定理，Fubini定理等)，把绝对值换以范数之后都照样成立。但是Radon-Nikodym定理不成立。当T是由Banach空间X到Banach空间Y的连续线性算子时，若S上取值于X中的函数是Bochner可积的，则作为S上取值于Y中的函数是Bochner可积的，且

成立。特别当S是n维Euclid空间时，Bochner积分具有强可微性1。

Birkhoff积分Birkhoff积分是关于在有限测度空间上定义的，在Banach空间X中取值的函数，按Lebesgue积分的构造方法定义的积分。首先，对于X的元的可列族，当级数在其各项的次序任意改变之后仍然强收敛时，称为无条件收敛(unconditionally converge)。当无条件收敛时，可以证明，它的和不依赖于相加的顺序，总是一定的。特别当X是数空间时，无条件收敛和绝对收敛的概念是一致的；但一般地说，无条件收敛的级数并不一定绝对收敛(绝对收敛是指收敛)。给定S的一个可列分割

若函数在每个上有界且

无条件收敛，则称关于可求和，此种和的全体

的凸闭包，称为对于△的积分值域(integral range)，记作。于是，如果对任意的正数，可选取S的可列分割△，使关于△可求和，且的直径小于，则称为Birkhoff可积的(Birkhoff integrable)。若关于某一可列分割△可求和，则可以证明，它对△的任一加细仍然是可求和的，且。从而当是Birkhoff可积时，

成为只含有X的一个点的集合。此

定义为的Birkhoff积分(Birkhoff integral)，写作

或简写为

Birkhoff可积函数在任意的F可测子集上仍为Birkhoff可积函数。Birkhoff积分作为集函数具有完全可加性和绝对连续性，对于被积函数具有线性性质。但Fubini定理不成立。又对于收敛定理来说不能得到Bochner积分那样好的结果，Bochner可积函数必是Birkhoff可积的，但其逆不成立。

以此Birkhoff积分的构造法为基础，G.Birkhoff和R.S.Phillips对取值于局部凸拓扑线性空间中的函数的积分作了定义。用此种积分的理论，使得Birkhoff积分成为这种积分基于在Banach空间上引人拓扑的方法，不同而得到的特殊情形。 进一步C.E.Rickart把Birkhoff积分推广到取值为局部凸拓扑线性空间的子集的函数，并求得了Radon-Nikodym定理1。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学