[科普中国]-抽象复形

定义

抽象复形是单纯复合形的一种抽象化。

一个非空集合A 的非空有限子集构成集合𝓚满足条件：

①A的所有单点子集都在𝓚中；

②如果A的一个子集S在𝓚中，那么S的所有非空子集都在𝓚，则𝓚称为一个以A为顶点集的抽象复形。

性质对于一个以A为顶点集的抽象复形𝓚，复形𝓚中的元素称为复形𝓚的抽象单形。如果一个抽象单形S作为A的子集所含元素个数为n+1，则S称为n维单形。抽单形S和S'作为A 的子集有包含关系S'⊂S.则称S'是S的一个面。

如果一个抽象复形𝓚与一个单纯复合形K的顶点之间建立了一个一一对应，并且在此对应下，K的一个顶点的子集是K中某一单纯形的顶点集当且仅当其对应像是𝓚中某一抽象单形的顶点集，那么单纯复合形K称为抽象复形𝓚的几何实现。一个抽象单形总是有几何实现的，但不唯一，同一抽象单形的不同几何实现有着相同的单纯形之间的包含与相交关系。1