[科普中国]-连续集值映射

连续集值映射(continuous set-valued mapping)是一类特殊的集值映射。设X，Y为拓扑空间，F：X→Y为集值映射，x∈X，若对于F(x)的任意邻域V，存在x的邻域U，使得当z∈U时有F(z)⊂V，则称F在点x是上半连续的，若F在X的任意点都是上半连续的，则称F为X上的上半连续集值映射。若对于Y的任意开集V，当F(x)∩V≠∅时，存在x的邻域U，使得当z∈U时有F(z)∩V≠∅，则称F在点x是下半连续的，若F在X的任意点都是下半连续的，则称F为X上的下半连续集值映射。上半连续且下半连续的集值映射称为连续集值映射。这个定义是库拉托夫斯基(K.Kuratowski)于1932年给出的1。

定义称集值映射在点处是下半连续的，若对任何及，总有，使得成立，若在X上的每一点都是下半连续的，则称是在X上下半连续的。称集值映射是连续的，若它既是上半连续又是下半连续的2。

相关概念集值映射对于两个集合，如果按照一个对应关系(规则)，使得对于中的每一元素，都有中的一个(几个)确定的元素与之对应，那么我们把这个对应关系叫做集合到集合的单值(多值)映射，多值映射也称“集值映射”。通常用…等符号来代表映射，当表示一个由集合到集合的映射，那么记，或，对任意，对于任意集合，我们把集合叫做的象，而对任何集合，我们把集合叫做的原象(逆象)。3

凹函数与凸函数定义1对凸集上的函数，如果不等式

对任意的和任意成立，那么我们称函数为上的凹函数。当不等式是严格不等式时，我们叫为严格凹函数。3

类似可定义凸函数。凹函数图像如图1。

下面的定义都将限制集合是中的有界闭、凸集。

上半连续定义2对多值映射序列，如果当且时有，那么，我们说映射是上半连续的。

当为单值映射时，以上就是它的连续性定义。

下半连续定义3若从能够推出存在使得则称映射为下半连****续。

由定义得知，要证明映射的下半连续性，就要找出满足定义条件的序列来。

相关性质线性组合关于多值映射的线性组合，我们有如下定义。

定义4假定有几个映射是上半连续的，是凸且有界闭的集合，那么映射

叫做映射的线性组合，并用记号。3

定理1假定集合是凸，有界闭集，定必在上的连续函数关于是凹的，那么映射

是上半连续的，且集合是非空凸、闭集。3

定理2假定集合X与Y是凸、有界闭集，函数定义在上，且对x与y分别是连续的，对y是凸的，如果存在，使得对所有满足。那么映射既是上半连续又是下半连续，并且集合是非空，凸且闭的。

定理3假定连续函数定义在上，其中是凸，有界闭集，对y是凹的，并且多值映射是上半且下半连续的，集非空，对任意是凸的。那么映射

是上半连续的，集合是非空，凸且有界闭的集合。3

定理4关于多值映射的线性组合，有如下结论。

上半连续映射的线性组合也是上半连续的。

定理5下述的日本学者卡库坦的多值映射不动点定理，在经济数学中占有重要地位。

假定是凸且有界闭的中的子集，映射是上半连续的，集合是非空凸集，那么存在，使。3

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学