[科普中国]-可分闭包

概念

可分闭包(separable closure)是一种特殊的代数扩域。即域上最大的可分代数扩域。设K是F的代数扩域，K内所有F上的可分元组成的子域S称为F在K内的可分闭包，它是F在K内可分扩域的最大者。若K是F的代数闭包，则称F在K内的可分闭包为F的可分闭包，记为Fsep，它除F同构外是惟一的。利用可分闭包，可将一个代数扩张分为一个可分扩张和一个纯不可分扩张来研究。1

域设F是域K的子集，对于K的加法和乘法运算，F也做成一个域，则称F是K的一个子域，K是F的一个扩域，记作K/F，称K/F为一个域扩张。设，E/F和K/E都是域扩张，则称E是K/F的一个中间域。设F是域K的子域，T是K的子集，K/F的含T的所有中间域的交仍是K/F的中间域，这个域记作F(T)，称为F添加T所得到的扩域，或称T在F上生成的域。当T= {t1，…，tn} 是K的有限子集时，记F(T)=F(t1，…，tn)，称这个域是在F上有限生成的。特别地，添加一个元素t于F中而得到的扩域F(t)称为F的单扩域。域F的扩域K可以看成F上的向量空间，如果K在F上的维数是有限的，则称K是F的有限次扩域，K/F是有限次域扩张。K在F上的维数记作〔K：F〕，称为K在F上的次数。设E是域扩张K/F的中间域，则〔K：F〕=〔K：E〕〔E：F〕。如果一个域没有真子域，就称为一个素域，在同构的意义下，只有有理数域Q和以素数p为模的剩余类环Z/(p)是素域。任何一个域F的一切子域的交F0是一个素域，如果F0≌Q，则称F是特征零的，如果F0≌Z/(p)，则称F是特征p的，F的特征记作CharF。设F是域K的子域，α∈K称为F上的代数元，如果存在F上的非零多项式f(x)，使得f(α)=0，否则，则称α是F上的超越元。设K/F是一个域扩张，如果K的每个元都是F上的代数元，则称K/F是代数扩张，否则称K/F为超越扩张。设K/F是一个域扩张，设A是K中在F上的代数元的全体，则A是K/F的中间域，称F在K中的代数闭包。一个域K称为是代数闭域，如果K〔x〕中每个次数大于零的多项式在K中有一个根。域F的一个扩域Ω称为F的代数闭包，如果 (1)Ω是代数闭域;(2)Ω是F的代数扩域。任何一个域都有一个代数闭包。设E，E′都是域F的扩域，如果E，E′都域F的某个扩域的子域，而且存在E到E′的同构使F中的元不动 (称为F-同构)，则称E与E′在F上共轭，简称F-共轭。设E/F是一个域扩张，如果E/F是代数扩张，而且任意与E是F-共轭的域都等于E，则称E/F是正规扩张。设F是一个域，f(x)∈F[x]，degf(x)>0，如果K是F的扩域，在K[x]中，f(x)=a(x-a1) …(x-an)，a∈F，a1，…，an∈K，而且K=F(a1，…，αn)，则称K是f(x)在F上的一个分裂域。域F上的次数大于零的多项式f(x)，如果在F的某个代数闭包Ω内的根都是单根，则称f(x)是可分的，否则就是不可分的。a是域F上的代数元，a满足的最高次项系数为1的最低的多项式称为a的极小多项式。设K/F是一个代数扩张，如果K的每个元素在F上的极小多项式都是可分的，则称K/F是一个可分扩张。只含有限个元素的域称为有限域，有限域的特征必是某个素数p。设F含有q个元素，F的素域p含有p个元素，[F： P] =f，则q=pf。两个有限域同构当且仅当它们有相同的元素个数。设Fg是含有q个元素的有限域，Fg的一切非零元素对于Fg的乘法做成q-1阶循环群，从而有限域的有限次扩域都是单扩域。2

代数闭包一个域的最大代数扩域。若域F的代数扩域Ω为代数闭域，则称Ω为域F的一个代数闭包。一个域F的代数闭包总是存在的，并且在F同构意义下惟一。这个基本定理来自施泰尼茨(Steinitz，E.)。设K是域F的扩域，在K中F上代数元的全体组成的子域A称为F在K内的代数闭包，它是F在K内的最大代数扩域。特别地，若F=A，则称F在K内是代数闭的。

域扩张域论的基本概念之一。若域K包含域F作为它的子域，则称K是F的一个扩张(或扩域)，F称为基域，常记为K/F。此时，K可以看成F上的向量空间。研究扩域K(相对于基域F)的代数性质，是域论研究的一个基本内容。

若域E是F的扩域，K是E的扩域，则称E是域扩张K/F的中间域。若K/F是域扩张，S是K的子集，且F(S)是K的含F与S的最小子域，称F(S)为F添加S的扩域。当S={α1，α2，…，αn}是有限集合时，F(α1，α2，…，αn)称为添加α1，α2，…，αn于F的有限生成扩域(或者F上的有限生成扩张)。它由一切形如：

f(α1，α2，…，αn)/g(α1，α2，…，αn)

的元组成，其中α1，α2，…，αn∈S，f，g是F上的n元多项式且

g(α1，α2，…，αn)≠0.

由于这个原因，当F(α1，α2，…，αn)关于F的超越次数≥1时，F(α1，α2，…，αn)也称为F上的代数函数域。当S={α}时，称F(α)为F的单扩张域，也称本原扩域。F的有限代数扩域K是单扩域的充分必要条件是，扩域K与基域间存在有限个中间域。这是施泰尼茨(Steinitz，E.)证明的。

可分扩张一种重要的域扩张。其特征为p的域F的任意扩张K/F，Ω是K的代数闭包，若K与：

F={α∈Ω|α∈F}

在F上是线性分离的，则称K/F是可分扩张。当F是完备域时，F上任何扩张都是可分扩张.当K/F是代数扩张时，若α∈K在F上的最小多项式是可分多项式，则称α是(F上的)可分代数元(简称F上可分元)。若K中每个元均为F上可分元，则称K是F上可分扩张。若K/F有一个超越基S，使得K是可分的，则称S是可分超越基。若K/F有这样一个可分超越基，则称此扩张K/F是可分生成的。完备域上的有限生成扩张均为可分生成扩张。可分扩张具有传递性。当K/F是有限生成，而且是可分扩张时，K/F是可分生成的。反之，可分生成的扩张必然是可分扩张。3