[科普中国]-超越基

概念

超越基(transcendence basis)亦称极大超越集。域论的基本概念之一。它是线性代数中基概念的推广，是扩域的极大代数无关集。设K是域F的扩域，K的一个子集S称为K在F上的超越基，是指：S在F上代数无关，K是F(S)的代数扩域。域F的任一扩域K都存在超越基。超越基不是惟一的，但它的基数相等，称此基数为K在F上的超越次数，记为tr.degFK或tr.deg(K/F)。若L是F的扩域，K为中间域，则：

代数扩域的超越基为空集，它的超越次数规定为零。

基代数数域作为有理数域上的线性空间的基。设K=Q(θ)为n次代数数域，记θ=θ(1)，并以θ(2)，…，θ(n)表示θ所适合的不可约多项式的其他n-1个根。于是，K中任一数α必可表为α=α(θ)=a1+a1θ+…+an-1θn-1，其中aj为有理数。设α(1)=α，则称α(k)=α(θ(k))(k=2，3，…，n)为α的共轭数，称S(α)=α(1)+α(2)+…+α(n)=α(θ(1))+α(θ(2))+…+α(θ(n))与N(α)=α(1)，α(2)，…，α(n)=α(θ(1))，α(θ(2))，…，α(θ(n))为α的迹与范。有S(α+β)=S(α)+S(β)，1N(αβ)=N(α)N(β).S(α)，N(α)均为有理数。特别地，若α为有理数时，则S(α)=nα，N(α)=α。若α为代数整数，则S(α)，N(α)均为代数整数，从而为有理整数。若在K中能找到一组数α1，α2，…，αn，使K中任何一数都可以惟一地表为a1α1+a2α2+…+amαm的形式，其中aj(1≤j≤m)为有理数，则称α1，α2，…，αm为K之基.K中任何基所含元素个数相同，且均等于n。若α1，α2，…，αn及β1，β2，…，βn为R(θ)之两组基，则有有理数ajk(1≤j，k≤n)使：

且其系数行列式|ajk|≠0。

域论域论（Field Theory）是抽象代数的分支，研究域的性质。简单地说，一个域是在其上有"加法"、"减法"、"乘法"和"除法"的代数结构。2

域的概念最初被阿贝尔和伽罗瓦隐含地用于他们各自对方程的可解性的工作上。

1871年，理查德·戴德金将对于四则运算封闭的实数或复数集称为“域”。

1881年，利奥波德·克罗内克定义了“有理域”（英文：domain of rationality，德文：Rationalitäts-Bereich），相当于今称之数域。

1893年，安里西·韦伯给出抽象域的首个清晰定义。

1910年，施泰尼茨于1911年发表了论文《域的代数理论》（英文：Algebraic Theory of Fields、德文：Algebraische Theorie der Körper）。论文中他以公理化的方式研究了域的性质并给出了多个域的有关术语，比如素域、完全域，和域扩张的超越次数。

虽然伽罗瓦并未提出域的概念，但一般被誉为是首个将群论和域论连系起来的数学家，伽罗瓦理论便以他命名。事实上，埃米尔·阿廷在1928至42年间才将群和域的关系大大地发展。

扩域域论的基本概念之一。若域K包含域F作为它的子域，则称K是F的一个扩张(或扩域)，F称为基域，常记为K/F。此时，K可以看成F上的向量空间。研究扩域K(相对于基域F)的代数性质，是域论研究的一个基本内容。

若域E是F的扩域，K是E的扩域，则称E是域扩张K/F的中间域。若K/F是域扩张，S是K的子集，且F(S)是K的含F与S的最小子域，称F(S)为F添加S的扩域。当S={α1，α2，…，αn}是有限集合时，F(α1，α2，…，αn)称为添加α1，α2，…，αn于F的有限生成扩域(或者F上的有限生成扩张).它由一切形如：3

f(α1，α2，…，αn)/g(α1，α2，…，αn)

的元组成，其中α1，α2，…，αn∈S，f，g是F上的n元多项式且：

g(α1，α2，…，αn)≠0.

由于这个原因，当F(α1，α2，…，αn)关于F的超越次数≥1时，F(α1，α2，…，αn)也称为F上的代数函数域。当S={α}时，称F(α)为F的单扩张域，也称本原扩域。F的有限代数扩域K是单扩域的充分必要条件是，扩域K与基域间存在有限个中间域。这是施泰尼茨(Steinitz，E.)证明的。