[科普中国]-非分歧扩张

非分歧扩张(unramified extension)是一类重要的域扩张。域扩张是域论的基本概念之一。若域K包含域F作为它的子域，则称K是F的一个扩张(或扩域)，F称为基域，常记为K/F。此时，K可以看成F上的向量空间。研究扩域K(相对于基域F)的代数性质，是域论研究的一个基本内容。1

概念非分歧扩张(unramified extension)是一类重要的域扩张。设E/F是局部域扩张，与为其剩余类域，若可分且剩余类次数，则E/F称为非分歧扩张。设F为整体域，E为其有限扩张，Q为F的素除子P在E的延拓。若e(Q/P)=1，则称Q在F上非分歧；若P在E的所有延拓均非分歧，则称P在E中非分歧(或E/F在P非分歧)；若F的所有素除子(有时限于所有有限素除子)均在E非分歧，则称E/F为非分歧扩张。非分歧扩张在类域论中起重要作用。局部域的有限扩张E/F是非分歧扩张的充要条件为E=F(α)，其中α是某首一多项式f(x)∈OF[x]的根，且在剩余类域中是的单根。此时且是n次扩张E/F的整基。

域设P是一至少含有两个元素的环，如果在P中乘法还具有下列性质：

(1)有单位元素，即在P中有一元素e，使ea=ae=a，对所有的a∈P；

(2)有逆元素，即对p中每个非零元素a都有一元素a-1，使a-1a=aa-1=e；

(3)交换律成立，即ab=ba，a，b∈P，那么P就叫做一个域。域有下列的基本性质：

(1)域没有零因子；

(2)若集F在两个 二元运算(加法和乘法)下满足下列条件，则F为一个域：

①F是以零为单位元的加法群；

②由除零外的F的一切元组成的集在乘法下是一个交换群；

③乘法对加法是可分配的；

(3)在域F中，方程ax=b(a，b∈F，a≠0)有唯一的解，并记作x=a/b；

(4)在F中，指数律成立；

(5)若把域F的单位元e的n倍ne记作n，则F中任一元a的n倍na就是n与a的积na。

域的扩张域论的基本概念之一。若域K包含域F作为它的子域，则称K是F的一个扩张(或扩域)，F称为基域，常记为K/F。此时，K可以看成F上的向量空间。研究扩域K(相对于基域F)的代数性质，是域论研究的一个基本内容。

若域E是F的扩域，K是E的扩域，则称E是域扩张K/F的中间域.若K/F是域扩张，S是K的子集，且F(S)是K的含F与S的最小子域，称F(S)为F添加S的扩域.当S={α1，α2，…，αn}是有限集合时，F(α1，α2，…，αn)称为添加α1，α2，…，αn于F的有限生成扩域(或者F上的有限生成扩张)。它由一切形如f(α1，α2，…，αn)/g(α1，α2，…，αn)的元组成，其中α1，α2，…，αn∈S，f，g是F上的n元多项式且g(α1，α2，…，αn)≠0。

由于这个原因，当F(α1，α2，…，αn)关于F的超越次数≥1时，F(α1，α2，…，αn)也称为F上的代数函数域。当S={α}时，称F(α)为F的单扩张域，也称本原扩域。F的有限代数扩域K是单扩域的充分必要条件是，扩域K与基域间存在有限个中间域。这是施泰尼茨(Steinitz，E.)证明的。2

域论域论（Field Theory）是抽象代数的分支，是不少学科的基础，是代数学中最基本的概念之一，且历史悠久。研究域的性质，简单地说，一个域是在其上有"加法"、"减法"、"乘法"和"除法"的代数结构。

域是许多数学分支(如代数、代数数论、代数几何等)研究的基础，而有限域则在近代编码、正交试验设计和计算机理论中都有重要应用，通过理想来研究环，这是研究环的基本方法。但是，由于域只有平凡理想，因此无法通过域的理想来研究域，要研究域，必须采取别的方法，其中最基本的方法就是通过对域添加若干元进行扩张，域的扩张起源于数域的扩张。

早在19世纪初，伽罗华在研究代数方程的著作里就出现了域的概念的萌芽，后来戴德金(J.W.R.Dedekind)和克罗内克(L.Kronecker)在不同背景下也提出了域的概念。系统研究域的理论始于韦伯(H.Weber)，而域的公理系统是迪克森(L.E.Dickson)和亨廷顿(E.V.Huntington)分别于1903和1905年独立创立的。在韦伯等人的影响下，施泰尼茨(E.Steinitz)对抽象域进行了系统研究，于1910年发表论文“域的代数理论”，对域论本身以及相关科学的发展产生重大影响。

域的概念最初被阿贝尔和伽罗瓦隐含地用于他们各自对方程的可解性的工作上。

1871年，理查德·戴德金将对于四则运算封闭的实数或复数集称为“域”。

1881年，利奥波德·克罗内克定义了“有理域”（英文：domain of rationality，德文：Rationalitäts-Bereich），相当于今称之数域。

1893年，安里西·韦伯给出抽象域的首个清晰定义。

1910年，施泰尼茨于1911年发表了论文《域的代数理论》（英文：Algebraic Theory of Fields、德文：Algebraische Theorie der Körper）。论文中他以公理化的方式研究了域的性质并给出了多个域的有关术语，比如素域、完全域，和域扩张的超越次数。

虽然伽罗瓦并未提出域的概念，但一般被誉为是首个将群论和域论连系起来的数学家，伽罗瓦理论便以他命名。事实上，埃米尔·阿廷在1928至42年间才将群和域的关系大大地发展。3

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学