[科普中国]-分歧指数

分歧指数(ramification index)是在域扩张时，素除子延拓或素理想分解的指数。域扩张是域论的基本概念之一。若域K包含域F作为它的子域，则称K是F的一个扩张(或扩域)，F称为基域，常记为K/F。此时，K可以看成F上的向量空间。研究扩域K(相对于基域F)的代数性质，是域论研究的一个基本内容。1

概念分歧指数(ramification index)是在域扩张时，素除子延拓或素理想分解的指数。若P为域F的非阿基米德素除子，Q为P在扩域E中的延拓，w和v是Q及P相应的指数赋值，则：

称为Q对P的分歧指数。若F对离散的P是完备的，n=[E∶F]有限，则e(Q/P)f(Q/P)=n，式中f(Q/P)为剩余类次数。

域扩张域论的基本概念之一。若域K包含域F作为它的子域，则称K是F的一个扩张(或扩域)，F称为基域，常记为K/F。此时，K可以看成F上的向量空间。研究扩域K(相对于基域F)的代数性质，是域论研究的一个基本内容。

若域E是F的扩域，K是E的扩域，则称E是域扩张K/F的中间域。若K/F是域扩张，S是K的子集，且F(S)是K的含F与S的最小子域，称F(S)为F添加S的扩域。当S={α1，α2，…，αn}是有限集合时，F(α1，α2，…，αn)称为添加α1，α2，…，αn于F的有限生成扩域(或者F上的有限生成扩张)。它由一切形如f(α1，α2，…，αn)/g(α1，α2，…，αn)的元组成，其中α1，α2，…，αn∈S，f，g是F上的n元多项式且g(α1，α2，…，αn)≠0。

由于这个原因，当F(α1，α2，…，αn)关于F的超越次数≥1时，F(α1，α2，…，αn)也称为F上的代数函数域。当S={α}时，称F(α)为F的单扩张域，也称本原扩域。F的有限代数扩域K是单扩域的充分必要条件是，扩域K与基域间存在有限个中间域。这是施泰尼茨(Steinitz，E.)证明的。

域论域论（Field Theory）是抽象代数的分支，是不少学科的基础，是代数学中最基本的概念之一，且历史悠久。研究域的性质，简单地说，一个域是在其上有"加法"、"减法"、"乘法"和"除法"的代数结构。

域是许多数学分支(如代数、代数数论、代数几何等)研究的基础，而有限域则在近代编码、正交试验设计和计算机理论中都有重要应用，通过理想来研究环，这是研究环的基本方法。但是，由于域只有平凡理想，因此无法通过域的理想来研究域，要研究域，必须采取别的方法，其中最基本的方法就是通过对域添加若干元进行扩张，域的扩张起源于数域的扩张。

早在19世纪初，伽罗华在研究代数方程的著作里就出现了域的概念的萌芽，后来戴德金(J.W.R.Dedekind)和克罗内克(L.Kronecker)在不同背景下也提出了域的概念。系统研究域的理论始于韦伯(H.Weber)，而域的公理系统是迪克森(L.E.Dickson)和亨廷顿(E.V.Huntington)分别于1903和1905年独立创立的。在韦伯等人的影响下，施泰尼茨(E.Steinitz)对抽象域进行了系统研究，于1910年发表论文“域的代数理论”，对域论本身以及相关科学的发展产生重大影响。

域的概念最初被阿贝尔和伽罗瓦隐含地用于他们各自对方程的可解性的工作上。

1871年，理查德·戴德金将对于四则运算封闭的实数或复数集称为“域”。

1881年，利奥波德·克罗内克定义了“有理域”（英文：domain of rationality，德文：Rationalitäts-Bereich），相当于今称之数域。

1893年，安里西·韦伯给出抽象域的首个清晰定义。

1910年，施泰尼茨于1911年发表了论文《域的代数理论》（英文：Algebraic Theory of Fields、德文：Algebraische Theorie der Körper）。论文中他以公理化的方式研究了域的性质并给出了多个域的有关术语，比如素域、完全域，和域扩张的超越次数。2

虽然伽罗瓦并未提出域的概念，但一般被誉为是首个将群论和域论连系起来的数学家，伽罗瓦理论便以他命名。事实上，埃米尔·阿廷在1928至42年间才将群和域的关系大大地发展。

除子亦称韦伊除子。是研究代数簇的重要工具之一。不可约簇X上余维数为1的不可约子簇的代数和。具体地，若D表示X中不含于X的奇异轨迹之中且余维数为1的不可约子簇的全体，Div(X)表示以D为基的自由阿贝尔群，则Div(X)中的元称为除子。设A=∑niAi是一个除子，Ai是不可约子簇，若所有的ni≥0，则称A为有效除子，称Ai为素除子。例如，若X是余维数1正则的(即X的所有一维局部环都是正则环)射影簇，A是X上的素除子，则OA是一个离散赋值环。若f是X上的非零有理函数，则对OA的赋值vA，vA(f)是个整数，且除了有限多个A之外，vA(f)=0。因此，可以定义f的除子：

这种除子称为主除子。若两个除子D，D′的差等于一个主除子，即D-D′=div(f)，则称D和D′是线性等价的。Div(X)关于线性等价的商群称为X的除子类群，记为Cl(X)。

素除子一个赋值等价类。两个赋值等价当且仅当其决定的拓扑相同，也当且仅当其中一个赋值是另一赋值的幂。由此得到的赋值等价类称为素除子。

理想集合论中的基本概念之一。设S为任意集合，若I⊆P(S)且满足：

1.∅∈I;

2.若X，Y∈I，则X∪Y∈I;

3.若X，Y⊆S，X∈I，Y⊆X，则Y∈I;

则称I为集合S上的理想。理想的概念在现代数学的几乎每个分支中均有应用，且有许多变体或引申。例如，布尔代数上的理想即为集合上的理想的一种变体。设B为任意布尔代数，若B的一个子集I满足：

1.0∈I，1∉I(其中0，1分别为布尔代数B中的零元与么元)；

2.对任何u∈I，v∈I，有u+v∈I；

3.对任何u，v∈B，若u∈I且v≤u，又v∈I；

则称I为B上的理想。理想与滤子有非常密切的联系。3

素理想一类特殊理想。它是整数环中素数生成理想的推广。设P是环R的理想，对R中任意理想A，B，若ABP必有AP或BP，则称P为R的素理想。它等价于对x，y∈R，若xRyP则x∈P或y∈P。当R是交换环时，P是R的素理想当且仅当对R中任意元素a，b，若ab∈P，则a∈P或b∈P。素理想在交换环的理想理论中有重要作用。若对任意环R，a，b∈R，由ab∈P得出a∈P或b∈P，则称P为R的完全素理想。因此，对交换环来说，素与完全素概念是一致的。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学