[科普中国]-局部紧空间

拓扑性质

设X是一个非空集合，X的幂集的子集（即是X的某些子集组成的集族）T称为X的一个拓扑。当且仅当：

1．X和空集{}都属于T；2

2．T中任意多个成员的并集仍在T中；

3．T中有限多个成员的交集仍在T中。

称集合X连同它的拓扑τ为一个拓扑空间，记作（X,T）。

称T中的成员为这个拓扑空间的开集。

定义中的三个条件称为拓扑公理。（条件（3）可以等价的换为τ中两个成员的交集仍在τ中。）

从定义上看，给出某集合的一个拓扑就是规定它的哪些子集是开集。这些规定不是任意的，必须满足三条拓扑公理。

一般说来，一个集合上可以规定许多不相同的拓扑，因此说到一个拓扑空间时，要同时指明集合及所规定的拓扑。在不引起误解的情况下，也常用集合来代指一个拓扑空间，如拓扑空间X，拓扑空间Y等。

同时，在拓扑范畴中，我们讨论连续映射。定义为：f: (X,T1) ------> (Y,T2) （T1,T2是上述定义的拓扑）是连续的当且仅当开集的原像是开集。两个拓扑空间同胚当且仅当存在一一对应的互逆的连续映射。同时，映射同伦和空间同伦等价也是很有用的定义。

拓扑空间在拓扑学及其相关的数学分支中，拓扑空间（topological space）是一个点的集合，其部分子集构成一个族满足一些公理。拓扑空间的定义仅依赖于集合论，是带有连续，连通，收敛等概念的最基本的数学空间。3

设X是一个集合，O是一些X的子集构成的族，则(X,0)被称为一个拓扑空间，如果下面的性质成立：

1. 空集和X属于O，

2.O中任意多个元素的并仍属于O，

3.O中有限个元素的交仍属于O。

这时，X中的元素成为点（point），O中的元素成为开集（open set）。我们也称O是X上的一个拓扑。

概念与定义局部紧空间(locally compact space)是一类拓扑空间。设X是拓扑空间，若X的每一点都有一个紧邻域，则称X为局部紧空间。紧空间是局部紧空间，反之不然。欧几里得空间R不是紧空间，但是，R是局部紧空间。离散空间是局部紧空间。局部紧的T2空间是完全正则空间。局部紧性是闭遗传的。局部紧空间的连续像未必是局部紧的。有限个局部紧空间的积仍为局部紧空间。4

定义1：空间X称为i-型局部紧空间(i=1,2,3),是指它满足下面的条件：

1)X中每一点都有一个紧邻域;

2)X中每一点都有一个紧邻域基;

3)X中每一点x的任意一个邻域U包含一个开邻域V,使得V U,且V是紧的.

定义2：空间X称为i-型局部强仿紧空间(i=1,2,3),是指它满足下面的条件:

1)X中每一点都有一个强仿紧邻域;

2)X中每一点都有一个强仿紧邻域基;

3)X中每一点x的任意一个邻域U包含一个开邻域V,使得V U,且V是强仿紧的.

定义3：在空间X中,Y是X的子集。若Y作为X的子空间是强仿紧空间，则称Y是X的强仿紧子集。显然强仿紧空间必是1-型局部强仿紧空间，因为强仿紧空间本身是它的任何一点的强仿紧邻域。由定义2可知，三者之间的关系：3-型局部强仿紧空间是2-型局部强仿紧空间，2-型局部强仿紧空间是1-型局部强仿紧空间。

局部紧空间性质**定义1：**拓扑空间 X称为局部可数紧空间，是指X中任意点都有一个可数紧致邻域，即每一点x∈ X，都存在一个领域使其每一可数开覆盖都有有限子覆盖，显然可数紧空间是局部可数紧的。5

**定义2：**拓扑空间X称为邻域局部紧空间，是指X中每一点x∈ X的任意邻域U∈ u，都有一个紧致邻域V，使得XU。

下面结果都是显然的。

**定理1：**邻域局部紧空间是局部紧空间，是可数局部紧空间。

定理2： 3-型局部紧空间是2-型局部紧空间，2-型局部紧空间是局部紧空间。

这是因为对任意 x∈ X, U∈ u都有开邻域V，使得VVUx，且V是紧的，且显然V是点x的邻域，并且其全体是点x的紧邻域基。

明显地有：

**定理3：**拓扑空间X是邻域局部紧的当且仅当x是2-型局部紧的。

**定理4：**局部紧的正则空间X是2-型局部紧空间，是3-型局部紧空间。

**推论1：**局部紧的Hausdorff空间都是2-型局部紧空间，都是3-型局部紧空间。

**推论2：**局部紧的完全正则空间都是2-型局部紧空间，都是3-型局部紧空间。

**定理5：**任一紧覆盖族都是局部有限的半紧空间X都是局部紧空间。

**定理6：**任一紧覆盖族都是局部有限的σ紧空间X都是局部紧空间。

**定理7：**半紧空间是σ紧空间。

**定理8：**设X和Y为拓扑空间，f∶X→Y是连续开满映射，X是邻域局部紧的，则Y是邻域局部紧的。

**定理9：**设X,Y为拓扑空间，X是局部可数紧的，f∶X→Y是连续开满映射，那么Y是局部可数紧的。

**定理10：**在拓扑空间X中，有：

(1)局部可数紧空间是局部列紧空间。

(2)局部列紧的T1空间是局部可数紧的。

(3)局部序列紧的是局部可数紧的。

(4)局部可数紧的A1空间是局部序列紧的。

从而，有X是局部可数紧的当且仅当X是局部列紧的当且仅当X是局部序列紧的。