[科普中国]-度量凸

概念

度量凸(metrically convex)是距离几何的一个概念。它是半度量空间的一种类似于一般的凸性但稍弱些的性质。此概念是门杰(Menger，K.)引进的。一个半度量空间(S，d)称为度量凸的，若对于其中任意两个不同的点x，z总能找到一点y，使得y≠x，z而且d(x，y)+d(y，z)=d(x，z)。

例如，实轴上全部有理点按常义的距离构成一个半度量空间，这空间按上面的定义显然是度量凸的。但它不是通常意义下的凸集。

距离几何距离几何是现代几何学的一个分支，它的研究对象是定义了距离的几何空间，其最初的任务是借助于定义在某些空间上的距离对这些空间进行分类，后来的发展超出了这个框架。距离几何一词得名于当代美国数学家布卢门塔尔(Blumenthal，L.M.)，他是《距离几何的理论和应用》一书的作者，该书被公认为本领域的奠基性著作。他于1938年首先以《距离几何》作为一篇论文的标题，该名称随即被沿用至今。

距离的一般概念比日常生活中的距离概念及数学中的度量概念要广泛些。设S是一个集，F是一个域，甚至更一般地，F是一个抽象群或有序集。一个映射d：S×S→F称为定义在S上的一个抽象距离，而(S，d)就称为一个抽象距离空间或简称一个距离空间。特别地，在上述定义中，若F是实数域而距离函数d满足以下条件，即对于p，q∈S有：2

1.d(p，q)=d(q，p);

2.d(p，q)≥0，而d(p，q)=0当且仅当p=q;则将d称为S上的一个半度量，而称(S，d)为一个半度量空间。

若距离函数d还满足三角形不等式，即对于p，q，r∈S，成立着

3.d(p，q)+d(q，r)≥d(p，r);

则称(S，d)是一个度量空间。

两个距离空间(S，d)和(S*，d*)之间的一个双射f：S→S*称为一个合同或称为等长，若p，q∈S成立着

d*(f(p)，f(q))=d(p，q).

当然合同的概念也可以限制在两空间的子集上来使用，特别是当S与S*之间不存在全空间合同对应的情形。

度量空间度量空间亦称距离空间。一种拓扑空间，其上的拓扑由距离决定。设R是一个非空集合，ρ(x，y)是R上的二元函数，满足如下条件：

1.ρ(x，y)≥0且ρ(x，y)=0⇔x=y;

2.ρ(x，y)=ρ(y，x);

3.(三角不等式)ρ(x，y)≤ρ(x，z)+ρ(y，z);

则称ρ(x，y)为两点x，y之间的距离，R按距离ρ成为度量空间或距离空间，记为(R，ρ)。设A是R的子集，则A按R中的距离ρ也成为度量空间，称为R的(度量)子空间。如果把上述距离的条件1改为ρ(x，y)≥0且ρ(x，x)=0，则称ρ为R上的拟距离。当ρ(x，y)=0时，记x～y.～是R上的一个等价关系，记商集(即等价类全体)为D=R/～，在D上作二元函数ρ～：ρ～(x～，y～)=ρ(x，y)(x∈x～，y∈y～)，则ρ～是D上的距离，而(D，ρ～)称为R按拟距离ρ导出的商(度量)空间。

度量空间(R，ρ)中的子集A称为有界的，如果对x0∈R，存在常数M，使ρ(x0，x)≤M对A中的一切x成立.设x0∈R，r>0，则称集合{x|x∈R，ρ(x，x0)b};

超球 Sα(x0)={x：ㄧx∈R，‖x-x0‖≤α}；α为已知数，x0∈R，这些都是凸集，其中b是已知数，C是已知向量且不为0。

极点：若凸集C中的点x不能成为C中任何线段的内点，称x为C的极点。极点一定是边界点。四面体的顶点，圆周上的点都是极点。

凸集可用如下代数性质来刻画：

C⊂R为凸集，点x，x…，xn∈C，则它们的凸组合x=α1x+α2x+…+αnxn∈C，其中，之亦真。3

凸集的交仍是凸集，如果C，D是R中的两个凸集，则C+D={x+y|x∈C，y∈D}和λC={λx|x∈C}都是凸集。

在数学规划中，许多重要结果能够利用凸集的分离定理来证明。这些定理论述R中两个不交的非空凸集C1和C2，对于它们存在超平面H使C1落在H的一侧，而C2落在H的另一侧。这样的超平面称为C1和C2的分离平面。