[科普中国]-本原理想

概念

本原理想(primitive ideal)是与(右)本原环密切相关的一类理想。它可刻画环的雅各布森根。设a是环R的理想，若R/a是本原环(左本原环)，则称a是R的本原理想(左本原理想)。本原理想也可由下面条件刻画：环R的理想a是本原理想的充分必要条件是a为某既约右R模的零化子。另一个充分必要条件是对R的某极大模右理想I，a=(I∶R)={x∈R|RxI}。任何本原理想都是素理想。

环环是对并与差运算封闭的集类，测度论中重要概念之一。设F是Ω上的一个非空集类.如果它对集的并及差运算封闭，即对任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，则称F为Ω上的环。例如，若F是由实直线R上任意有限个左开右闭的有限区间的并集：

的全体构成的集类，则F是R上的一个环.环也是对于交与对称差运算封闭的集类，并按这两种运算成为布尔环。要把R上的勒贝格测度和勒贝格-斯蒂尔杰斯测度以及相应的积分理论推广到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集类并研究其性质.环以及半环、σ环、代数、σ代数等重要集类正是为了这一目的而引入的。2

环论环论是抽象代数学的主要分支之一。它是具有两个运算的代数系。在非空集合R中定义加法“+”和乘法“·”运算，使得R中任意元a，b，c适合条件：

1.R对加法为交换群，称为R的加法群，记为(R，+);

2.R对乘法适合结合律，即(R，·)是半群，称为R的乘法半群;

3.乘法对加法的左、右分配律成立，即

a·(b+c)=a·b+a·c (左分配律)，

(b+c)·a=b·a+c·a (右分配律);

则称R为结合环，简称环(通常a·b写为ab)。它是环论研究的主要对象。环论起源于19世纪关于实数域的扩张与分类，以及戴德金(Dedekind，J.W.R.)、哈密顿(Hamilton，W.R.)等人对超复数系的建立和研究。韦德伯恩(Wedderburn，J.H.M.)于1907年给出的结构定理给出代数研究的模式，也成为环结构研究的模式.20世纪20-30年代，诺特(Noether，E.)建立了环的理想理论，阿廷(Artin，E.)又将代数结构定理推广到有极小条件的环.同时，对非极小条件的环，冯·诺伊曼(von Nenmann，H.)建立了正则环理论，相继盖尔范德(Гельфанд，И.М.)创立了赋值环，克鲁尔(Krull，W.)建立了局部环理论，以及哥尔迪(Goldie，A.W.)完善了极大条件环理论。

20世纪40年代，根论迅速发展，尤其是雅各布森(Jacobson，N.)于1945年引入的被称为雅各布森根的概念后，建立了本原环理论、半本原环的结构定理与本原环的稠密性定理，完善和深化了不带附加条件环的理论。20世纪50年代中期，阿密苏(Amitsur，S.A.)、库洛什(Kurosh，A.)创立了根的一般理论，环论已趋完善。

本原环本原环是一类重要的环。研究雅各布森根时引入的，其后被广泛讨论与应用。若环R有一个忠实右(左)R单模(即忠实既约右(左)R模)，则称R为右(左)本原环。通常将右本原环简称本原环。一般说来，左本原环未必是本原环，但当R有极小单侧理想时，左本原性与本原性一致。任何本原环皆为素环。雅各布森(Jacobson，N.)引入本原环来代替有限条件下的单环，从而得出在没有有限条件限制下的一般半单环的结构定理，这是环论的重大发展。

雅各布森根雅各布森根是以右(左)拟正则性为根性质的一种重要的根。设R是任意环，若R有本原理想，则环R的一切本原理想的交称为R的雅各布森根，用J(R)表示。当R无本原理想，规定J(R)=R，此时R称为J根环(雅各布森环)。雅各布森根还可以从多种角度描述：J(R)等于R的一切左本原理想的交，又等于R的最大的右拟正则理想，它包含R的一切右拟正则右理想，还等于R的最大左拟正则理想，它包含R的一切左拟正则左理想，同时，亦等于R的一切模的极大右理想的交，也等于R的一切模的极大左理想的交，又等于{x∈R|xa是右拟正则，对任意a∈R}。雅各布森根是雅各布森(Jacobson，N.)于1945年引入的。3

理想理想是集合论中的基本概念之一。设S为任意集合，若I⊆P(S)且满足：

1.∅∈I;

2.若X，Y∈I，则X∪Y∈I;

3.若X，Y⊆S，X∈I，Y⊆X，则Y∈I;

则称I为集合S上的理想。理想的概念在现代数学的几乎每个分支中均有应用，且有许多变体或引申。例如，布尔代数上的理想即为集合上的理想的一种变体。设B为任意布尔代数，若B的一个子集I满足：

1.0∈I，1∉I(其中0，1分别为布尔代数B中的零元与么元);

2.对任何u∈I，v∈I，有u+v∈I;

3.对任何u，v∈B，若u∈I且v≤u，又v∈I;

则称I为B上的理想。

素理想素理想是一类特殊理想。它是整数环中素数生成理想的推广。设P是环R的理想，对R中任意理想A，B，若ABP必有AP或BP，则称P为R的素理想。它等价于对x，y∈R，若xRyP则x∈P或y∈P.当R是交换环时，P是R的素理想当且仅当对R中任意元素a，b，若ab∈P，则a∈P或b∈P。素理想在交换环的理想理论中有重要作用。若对任意环R，a，b∈R，由ab∈P得出a∈P或b∈P，则称P为R的完全素理想。因此，对交换环来说，素与完全素概念是一致的。4