[科普中国]-高斯绝妙定理

人物介绍

约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）是德国数学家，他对数字理论，代数，统计学，分析，微分几何，大地测量学，地球物理学，力学，静电学，天文学，矩阵理论和光学等许多领域做出了重大贡献。

有时被称为王子数学家（拉丁语，“数学家最重要的”）和“自古以来最伟大的数学家”，高斯在数学和科学的许多领域都有特殊的影响力，被列为历史上最有影响力的数学家之一。

高斯已经指出，正三边形、正四边形、正五边形、正十五边形和边数是上述边数两倍的正多边形的几何作图是能够用圆规和直尺实现的，但从那时起关于这个问题的研究没有多大进展。高斯在数论的基础上提出了判断一给定边数的正多边形是否可以几何作图的准则。例如，用圆规和直尺可以作圆内接正十七边形。这样的发现还是欧几里得以后的第一个。

这些关於数论的工作对代数数的现代算术理论(即代数方程的解法)作出了贡献。高斯还将复数引进了数论，开创了复整数算术理论，复整数在高斯以前只是直观地被引进。1831年(发表於1832年)他给出了一个如何藉助於x,y平面上的表示来发展精确的复数理论的详尽说明。

高斯曲率曲面论中最重要的内蕴几何量。设曲 面在P点处 的两个主曲率为k1，k2，它们的乘积k=k1·k2称为曲面 于该点的总曲率或高斯曲率。它反映了曲面的一般弯曲程度。高斯曲率k的绝对值有明显的几何意义。设Δб是曲面上包含P点的一小片曲面（其面积仍用Δб表示），把Δб上的每点的单位法向量n平移到E3的原点O处，那么n的终点 的轨迹是 以O为中心的单位球面S2上的一块区域 Δб* 。这个对应称为高斯映射。曲面在P点邻近弯曲程度可用Δб*( 其面积仍用Δб*表示）与Δб的面积比刻画。

利用隐函数定理将曲面用二元函数f的图像来表示，并且假设点p为临界点，也即f在该点的梯度为0（这总是可以通过适当的刚体运动来实现）。然后p点的高斯曲率就是f在点p的黑塞矩阵（二阶导数组成的2x2矩阵）的行列式。这个定义只要用基本的微积分知识就可以理解杯底或者帽顶“对应”鞍点的区别。2

内蕴几何内蕴几何是几何学中最重要的内容。 内蕴几何只关心几何物体自身的性质， 而不关心这个物体在大空间中的位置。 换句话说，内蕴几何的所有结论和概念只和物体本身的特性有关， 而和物体在大空间中的相对位置无关， 和坐标系的选取无关。

在古典微分几何中， 人们常常将曲线和曲面放在三维欧氏空间中来处理。 曲线和曲面的很多几何特性的描述与讨论， 常常依赖于它们以什么方式嵌入大空间。 但事实上， 很多几何物体的重要性质本质上是内蕴的， 即与它们嵌入大空间的方式无关。 早年的几何学家很少注意这一点。高斯与黎曼开始真正意识到这个问题。黎曼在其著名的几何学演讲中，正式地用内蕴的观点重新讨论了几何学的诸多概念。

许多几何概念都可以用内蕴的方式直接定义而摆脱外部空间和坐标系选择的干扰。 比如切向量、余切向量、联络、外微分、曲率、挠率、度量等等基本的概念。这些概念在古典微分几何中却是用非内蕴方式定义的。

特别是高斯曲率这个重要概念。 高斯首次发现了这个用第二基本形式（非内蕴的）得到的曲率竟然是内蕴的， 他对此发现极为满意， 将之称为绝好定理。我们现在知道， 几何空间的弯曲是内蕴的现象， 这一点对于建立爱因斯坦的广义相对论是非常重要的。

定理内容高斯绝妙定理的拉丁语是““显式定理”，是卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）证明的关于曲面曲率的微分几何的基础结果。定理说，如果一个曲面弯曲而没有拉伸，表面的高斯曲率就不会改变。换句话说，高斯曲率可以通过测量表面本身上的角度，距离和速率来完全确定，而无需进一步参考表面嵌入环境三维欧几里得空间中的特定方式。因此，高斯曲率是表面的固有不变量。3

高斯以这种方式提出了定理（从拉丁语译出）：

“因此，前面文章的公式推导出了绝妙定理。如果弯曲表面在任何其他表面上展开，则每个点的曲率测量值保持不变。”

定理具有重大意义，因为高斯曲率的起始定义直接使用空间中表面的位置。所以令人惊讶的是，不管所有的弯曲和扭曲变形，结果都不依赖于其嵌入。

在现代数学语言中，定理可以说如下：

“表面的高斯曲率在局部等值线下是不变的。”

定理应用半径R的球体具有等于1 / R²的恒定高斯曲率。同时，平面具有零高斯曲率。作为高斯绝妙定理的推论，一张没有弄皱的纸不能弯曲到球体上。相反，球体的表面不能展开在平面上而不会使距离变形。如果一个人踩一个空的蛋壳，它的边缘必须在展开之前被分割成平坦的。在数学上，一个球体和一个平面不是等距的，甚至在同一个地方。这个事实对于制图是非常重要的：它意味着地球的平面（平坦）地图可以是完美的，即使是地球表面的一部分。因此，每个制图投影必然会至少扭曲一些距离。4

耳蜗和螺旋体是两个非常不同的表面。然而，他们中的每一个都可以不断弯曲到另一个中：它们是局部等距的。从高斯绝妙定理可以看出，在这种弯曲下，在线圈和螺旋线的任何两个对应点处的高斯曲率总是相同的。因此，等距测量只是简单地弯曲和扭曲表面而没有内部弄皱或撕裂，换句话说，没有额外的张力，压缩或剪切。

高斯绝妙定理的应用在普通的吃比萨策略中看到：（不是一个很好的例子，因为物理学涉及的数学定理比数学定理更多，例如，三角形的Saran Wrap也可以被认为是零曲率，但是沿着长边折叠的策略不会使其变得僵硬，但是乍看起来，比萨饼的例子不是说明高斯绝妙定理的好方法。）一片披萨可以看作是具有恒定高斯曲率0的曲面。轻轻弯曲切片必须大致保持该曲率（假设弯曲大致为局部等值线）。如果一个沿半径水平弯曲一个切片，则沿着弯曲部分产生非零的主曲率，指出这些点处的另一个主曲率必须为零。这在垂直于折叠的方向上产生刚性，这是当吃比萨饼时所需的属性，因为它保持其长度足以消耗而不用混乱的形状。这种相同的原理用于波纹材料的加固，最熟悉的是瓦楞纸板和波纹镀锌铁以及某些形式的薯片。5