[科普中国]-正向极限

简介

若 为 上的一个半环正向系，有半环R，对每个 ，有半环态射 满足：

（1）对 中所有的i≤j 有 ；

（2）若任意半环S和态射集 对于 中所有i ≤j 满足： ，则存在唯一的半环态射η：R →S 对所有的 有 。

称满足以上条件的 是正向极限，记为：lim Ri 。1

正向极限存在性若 是一个半环正向系，S 是Ri的无交并，在S上定义二元关系 等价于 中存在i , j ≤k 使得a ∈Ri，b∈Rj，μik(a)=μjk(b)。显然对所有的n≥k 有μin(a)=μjn(b)。

令 ，半环态射 ，则 是半环正向系 的正向极限。

正向极限的一些性质（1）半环S上的元素a称为加法(乘法)幂等的，如果它满足附加条件 ，半环 S 称为幂等的。

（2）半环 S 称为单半环，若 r ∈S ，a +1 =1；半环 S 称为零和自由的。如果，有r+r'=0，则r+r'=0；半环 S 称为整的，如果，有，则r=0或者r'=0。

（3）若 R 是半环正向系的正向极限，其半环态射，则 R 是加法(乘法)幂等的当且仅当对是加法(乘法)幂等的.

（4）若 R 是半环正向系的正向极限，其半环态射，则对中所有i≤j，，当且仅当。

（5）若 R 是半环正向系的正向极限，其半环态射，且中所有i≤j，，则：

Ri(i ∈ Ψ)是零和自由的当且仅当 R 是零和自由的；

Ri(i ∈ Ψ)是整的当且仅当 R 是整的。

（6）若 R 是半环正向系的正向极限，其半环态射，若是单的，则R是单的，如果，那么反之也成立。

（7）若 R 是半环正向系的正向极限，其半环态射，若是环，则R是环。

（8）若 R 是半环正向系的正向极限，其半环态射，若是加法幂等的，，则当且仅当。

（9）设为的推出，则A必是半正环正向系的正向极限，其中。23

反向极限反向极限(inverse limit)亦称逆向极限或上极限。它是积与拉回概念的推广，也是正向极限的对偶概念，在范畴论、同调代数、代数K理论、代数几何等学科中有重要应用.设矛为一个范畴，了为一个拟序集所成的范畴。省的一个带指标集了的反向系是指一个反变函子F。

正向极限的等价刻画第一定义设是一个范畴，I,J,L是指标集，集合I与集合J元素之间有关系“≤”。集合I与集合L元素之间有关系“≤”，满足对任意J∈J，存在i∈I，使得i≤j；对任意l∈L，存在i∈I，使得i≤l；对任意i∈I，存在J∈J,l∈L，使得i≤j，i≤l。

且若i≤j，有有确定的；若i≤l，有确定的，称交换图族为广义推出族。

第二定义设A是一个范畴，为范畴A中的一个以l为指标集的正向系，若是的广义推出，则称为正向系的正向极限。

正向化限的第二定义与第一定义是等价的。