[科普中国]-自由对象

简介

在数学中，自由对象的概念是抽象代数的基本概念之一。它是泛代数的一部分，在某种意义上它涉及到所有类型的代数结构。它在范畴论方面也有一个公式，尽管那是更为抽象的术语。示例包括自由群、张量代数或自由格。不太正式地说，在一个集合a上的自由对象可以被认为是一个在a里面的“一般的”代数结构：在自由对象的元素之间唯一的方程式是那些从代数结构的定义公理中随之而来的方程式。1

定义自由对象是指向量空间中基础概念的直接泛化。在向量空间里的一个线性函数u：E1→E2是完全由其在向量空间E1的基决定的。相反，用向量空间E1的基来定义的一个函数u：E1→E2可以唯一地扩展成一个线性函数。下面的定义将此转换为其它范畴。2

令(C、F)是一个具体的类别(例如F：C。令X是一个集合(称为基)，A∈C是一个对象，i：X→F(a)集之间的一个映射。如果它们满足下面的通用性质，我们说A是X上的自由对象(关于i)：

B和任何任何对象之间的映射f：X→F(B)：存在一个唯一射g：A→B，f = f(g)∘i。也就是说：

这样，从集合X中构建自由对象A的自由函数就变成了可遗函子的伴随算子。

举例自由对象的创建分为两个步骤。第一步是把所有的代数语句形成集。然后将一组等价关系加在此语句上，这个等价关系是给代数对象定义的关系。然后，自由对象由等价类的集合组成。

例如，考虑两个自由集。一个是由五个字母组成的代数 。在第一步中，并没有任何分配意义给字母 ，这些将在后面的步骤中给出。因此，同样另外一个是 。在本例中，所有字母或字符串W(S)的集合将包括诸如aebecede和abdc等字符串，以及任意有限长度的字符串，这些字符串以各种可能的顺序排列。

在接下来的步骤中，我们将设置一组等价关系。一群的等价关系是乘法， =如= g，它的逆是 。将这些关系应用于上面的字符串，就可以得到

可以知道c替代了a-1，d替代了b-1，而e是单位元素。同样，还有

在此基础上，自有物体就变成了语句等价类的集，因此，在这个例子中，

这经常被写成

一般情况下在一般情况下，代数关系不必是关联式的，在这种情况下，起始点不是所有语句的集，而是用圆括号来表示，用括号来表示字母的非结合群。这种可以用二叉树表示，这棵树的叶子是字母。

代数关系在树的叶子上可能是单一的关系。与其从所有可能的圆括号字符串的集合开始，不如从Herbrand的普遍的开始更方便。适当地描述或枚举一个自由对象的内容可以是简单的或困难的，这取决于问题中特定的代数对象。

如示例所示，自由对象看起来像语法结构，在某种程度上，人们可能会说，语法的主要用途可以被解释和描述为自由对象，这在某种程度上使得“标点”很明显可以解释(而且更令人难忘)。

自由因子一个自由对象的最普遍的处理是在范畴论中，其中定义了一个函数，一个自由函子。

考虑代数结构的C类，这些可以被看作是集合加上运算，服从一些定律。这个类别有一个函数， ，这个可遗函子，它将C中的对象和函数映射到集合。可遗函子非常简单：它只是忽略了所有的运算。

自由函子F，当它存在且是U的左伴随，也就是说， 是集X在相应的自由对象集F(X)的类别集合。X可以认为是自由对象的集合F(X)的集。