[科普中国]-始对象

始对象(initial object)是范畴论的基本概念之一，指在范畴论中起着特殊作用的一类对象，是终对象的对偶概念，它们都是零对象的推广。设C为范畴，A∈C，若对一切B∈C，Hom(A，B)都只有一个元素，则称A为范畴C的始对象，C的任何两个始对象必是等价(同构)的。例如，阿贝尔群范畴的始对象为0(零群)1。

定义(1) 设是范畴，，若对于，都是仅含单独一个元素的集，则称为的始对象(initial object)。

(2) 设是范畴，，若对于，都是仅含单独一个元素的集，则称是的终对象(terminalobject)。

(3) 若既是始对象又是终对象，则称是的一个零对象(null object)2。

相关定理定理1 (1)若是范畴的一个终(始)[零]对象，是范畴的一个终(始)[零]对象2。

(2) 若范畴有始(终)[零]对象，则各个始(终)[零]对象必是等价对象，因而从同构的观点看它们都是唯一的。

定理2 在一个范畴中的始对象与终对象是对偶的，从而零对象是自对偶的3。

**证明：**设表示范畴中始对象的定义。于是

：是中的始对象，假若对于中的每一，恰有一个成员。

：是中验始对象，假若对于中的每一对象恰有一个成员。

：是中的终对象，假若对于中的每个，恰有一个。

命题3 设是范畴，若中的对象都是始(或终)对象，则。

证明： 若中的对象都是始对象，则都是单元集。设，于是，注意，并且是始对象，所以。同理。综上所证，可知。

举例分析例1在集范畴Set中空集是始对象但不是终对象，单元集是终对象但不是始对象；每个单元素集如是一个终对象而不是始对象，可以证明，它没有零对象。

例2 在范畴Grp和Ab中仅含一个元素的群(当群的复合运算是乘法时是)既是它们的始对象也是它们的终对象，因而是它们的零对象。在范畴Grp中，平凡群是零对象4。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学