[科普中国]-循环代数

代数

代数是数学的一门分科，研究代数方程或代数方程组运算的学科。人们在实践中发现了数以及数的运算规律和性质以后，进而用字母代表数，研究数与字母之间的运算规 律。将广泛的、复杂的实际问题归结 为代数方程或代数方程组加以解决。代数在数学分析、几何学和物理学等学科中占有极重要的地位。代数和其他学科相结合，产生了一些新的数学学科，诸如代数几何、代数数论等。2

设K为一交换体。 把K上的向量空间E叫做K上的代数，或叫K-代数，如果赋以从E×E到E中的双线性映射.换言之，赋以集合E由如下三个给定的法则所定义的代数结构：

——记为加法的合成法则(x，y)↦x+y;

——记为乘法的第二个合成法则(x，y)↦xy;

——记为乘法的从K×E到E中的映射(α，x)↦αx，这是一个作用法则;

这三个法则满足下列条件：

a) 赋以第一个和第三个法则，E则为K上的一个向量空间;

b) 对E的元素的任意三元组(x，y，z)，有：

x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;

c)对K的任一元素偶(α，β)及对E的任一元素偶(x，y)，有(αx)(βy)=(αβ) (xy).

设A为一非空集合. 赋予从A到K中的全体映射之集ℱ(A，K)以如下三个法则：

则ℱ(A， K)是K上的代数， 自然地被称为从A到K中的映射代数.当A=N时， 代数ℱ(A，K)叫做K的元素序列代数.

无论是在代数还是在分析中，代数结构都是最常见到的结构之一。十九世纪前半叶末，随着哈密顿四元数理论的建立，非交换代数的研究已经开始。在十九世纪下半叶，随着M.S.李的工作，非结合代数出现了。 到二十世纪初，由于放弃实数体或复数体作为算子域的限制，代数得到了重大扩展。

与外代数，对称代数，张量代数，克利福德代数等一起，代数结构在多重线性代数中也建立了起来。

单代数单代数又叫单环，是与群论中单群类相对应的基本环类。一个环(代数)R，若只有平凡理想(即除R和零理想外不含其他理想)，则称R为弱单环或单纯环(弱单代数)。弱单环(弱单代数)可分两类：一类是R≠0，此类环(代数)称为单环(单代数)，它的幂零根为零；另一类是R=0，R称为零乘环，它的幂零根是R本身。域F上的全矩阵环是单环，也是F上的单代数。F上有限维单代数必含单位元。

循环代数概念循环代数(cyclic algebras)是特殊的有限中心单代数。一个有限中心单代数A，若它有严格极大子域E，使得E/F是循环扩张，则称A为循环代数。代数数域上的有限中心可除代数是循环代数，有理数域上的每个单代数都是其中心上的循环代数。这是布饶尔(Brauer，R.(D.))、哈赛(Hasse，H.)、诺特(Noether，M.)、阿尔贝特(Albert，A.A.)关于有限结合代数理论中最完美的结论。

相关人物简介布饶尔美国数学家.生于德国柏林，卒于美国波士顿。1926年获柏林大学博士学位.1927年任教于柯尼斯堡大学.1933年纳粹控制了德国以后，移居美国.1933—1934年，在肯塔基大学任教.1934—1935年，在普林斯顿高等研究院做外尔(Weyl，(C.H.)H.)的助手.1935—1948年，任教于加拿大多伦多大学.1948—1952年，任密歇根大学教授.1952年起，任哈佛大学教授，1971年退休.1945年被选为加拿大皇家学会会员，1954年被选为美国艺术与科学学院院士，1955年被选为美国全国科学院院士，1964年成为格丁根自然科学院通讯院士.1957—1958年，任加拿大数学大会(加拿大数学会前身)主席，1959—1960年，任美国数学会主席.此外，还曾获多所大学荣誉学位.

布饶尔是20世纪的著名代数学家之一.在连续群表示、单群和分裂域、模表示和数论等方面都有重要贡献，特别是单代数理论和非半单代数正则表示方面.早期主要研究群表示理论和代数结构.他和诺特(Noether，E.)的合作促使两者之间建立了联系，他们还揭示了分裂域与单代数的极大子域之间的密切关系.后来引入了现称为域上的布饶尔群的概念.1931年，他还和哈塞(Hasse，H.)、诺特合作证明了迪克森猜想，即代数数域上的中心单代数是循环的，同时还给出了表征数域上中心可除代数的一组完整的数值不变量.1935年开始了有限域上有限群表示的研究，建立了特征P的域上的有限群表示理论，发现了表征特征标的定理，并证明了阿廷L级数是亚纯的.1954年提出了用对合(群的二阶元素)的中心化子的结构分类单群的布饶尔纲领，这种方法与其他观点相结合，大大促进了有限单群的分类研究.另外，他还在类域理论方面有重要成果.1949年获美国数学会柯尔奖，1971年被授予美国国家科学功勋奖章.他一生共发表论著128篇(部)，其论文被收入了三卷本的《R.布饶尔文集》.3

哈赛德国数学家.生卒地不详.毕业于格丁根大学，1921年获博士学位.1934年成为格丁根大学教授兼数学研究所所长.他还曾在哈雷(Halle)、马尔堡(Marburg)、格丁根和柏林等地工作.他是阿廷(Artin，E.)和诺特(Noether，E.)学派的代数学家.

哈塞的主要贡献在代数和数论方面.可换域理论和代数数域理论中的许多概念和结果都是用他的名字来命名的.他首先发展了局部类域论，研究了上同调群和类域论的关系.在代数数域中，他研究了对于幂剩余记号的互反律、范数剩余及其记号、希尔伯特范数记号、代数数域的算术等课题，并有以他的名字命名的一种ζ函数.哈塞在第二次世界大战期间，从1940年起在法西斯德国海军的研究机构中，从事应用数学研究.第二次世界大战后被解职.1948年在柏林大学恢复教授职位.

诺特德国数学家.生于曼海姆(Mannheim)，卒于埃尔朗根(Erlangen).1865年，他进入海德堡大学学习，1868年获博士学位.1874年在该校任副教授，1888年以后任埃尔朗根大学教授.他的4个孩子有3个成为科学家，著名数学家诺特(Noether，E.)就是他的女儿.

诺特是19世纪代数几何学方面的代表人物之一.他深入研究了属于双有理变换的代数簇的不变性质，建立了关于二次变换的重要定理.1873年，他证明了其最著名的定理：给定两条代数曲线φ(x，y)=0，ψ(x，y)=0，它们在有限个孤立点上相交，当且仅当某些条件被满足时，那么通过所有这些交点的代数曲线的方程可表达为Aφ+Bψ=0的形式(其中A、B是关于x和y的多项式).他的另一个定理给出了过曲面φ(x，y，z)=0和ψ(x，y，z)=0的交线的曲面方程具有形式Aφ+Bψ=0的条件.诺特的这些结果，后来被克尼格(Koenig，J.)、拉斯克尔(Lasker，Emanuel)等人所推广.4

循环代数的应用循环代数在结合代数中有重要应用。

结合代数是指类似于环、域，而更接近于环的一个代数系.设A是一个结合环，若A又是域F上向量空间，且对任意元素a，b∈A，λ∈F，适合λ(ab)=(λa)b=a(λb)，则称A是F上结合代数，简称F代数.称F上向量空间A的维数为代数A的维数，记为dimA.一般地，若结合环A又是左R模，其中R是有单位元1的交换环，且对任意a∈A，λ∈R，适合：

1·a=a，λ(ab)=(λa)b=a(λb)，

则称A是R上代数.通常假定一个R代数有单位元.

结合代数研究的中心问题是刻画各类代数的结构，它是从19世纪50年代哈密顿(Hamilton，W.R.)引入实域上四元数(1843年)、格拉斯曼(Grassmann，H.G.)引入向量乘法以及凯莱(Cayley，A.)等人讨论矩阵代数开始的.到20世纪初，韦德伯恩(Wedderburn，J.H.M.)开创了有限维代数发展的新阶段，他的半单代数结构理论对代数的发展起了推动作用，使有限维代数的研究基本上归结为幂零代数与可除代数的研究，进而得出半单代数较完整的表示理论.阿尔贝特(Albert，A.A.)的《代数结构》一书(1939年)是对经典代数的很好的总结.非半单代数结构的研究则较为复杂，因此划分成一些自然的代数类并对它们进行描述就成了占主要地位的工作.克德(Ko¨the，G.)、中山正(Nakayama，T.)、浅野启三(Asano，K.)等人刻画了主理想代数、弗罗贝尼乌斯代数以及它们的推广.近年来，开始用模论的方法研究代数结构，产生了代数表示论。

由于R上代数A与环的概念仅多一个R×A到A的乘法运算，因此，子代数、单侧理想、理想、商代数、幂零和幂零理想、同构及同态等概念仅比环中相应概念多一个与R中元相乘封闭的性质，不再重复它们的定义。5