[科普中国]-纯量扩张

概念

纯量扩张(scalar extension)是常用的代数基域扩张，它对域上中心单代数结构的研究有重要作用。若A是R代数，S是交换的R代数，则AS=ARS是S上代数，称为A的纯量扩张。纯量扩张有如下基本性质：

其中T是包含S的任一R交换代数。若K是域F的有限扩张，则域F上中心单代数A的纯量扩张AK仍是K上中心单代数。1

域扩张域论的基本概念之一。若域K包含域F作为它的子域，则称K是F的一个扩张(或扩域)，F称为基域，常记为K/F。此时，K可以看成F上的向量空间。研究扩域K(相对于基域F)的代数性质，是域论研究的一个基本内容。

若域E是F的扩域，K是E的扩域，则称E是域扩张K/F的中间域。若K/F是域扩张，S是K的子集，且F(S)是K的含F与S的最小子域，称F(S)为F添加S的扩域。当S={α1，α2，…，αn}是有限集合时，F(α1，α2，…，αn)称为添加α1，α2，…，αn于F的有限生成扩域(或者F上的有限生成扩张)。它由一切形如：

的元组成，其中α1，α2，…，αn∈S，f，g是F上的n元多项式且：

由于这个原因，当F(α1，α2，…，αn)关于F的超越次数≥1时，F(α1，α2，…，αn)也称为F上的代数函数域。当S={α}时，称F(α)为F的单扩张域，也称本原扩域。F的有限代数扩域K是单扩域的充分必要条件是，扩域K与基域间存在有限个中间域。这是施泰尼茨(Steinitz，E.)证明的。

单代数与群论中单群类相对应的基本代数。一个代数R，若只有平凡理想(即除R和零理想外不含其他理想)，则称R为弱单代数。弱单代数可分两类：一类是R≠0，此类代数称为单代数，它的幂零根为零；另一类是R=0，R称为零乘环，它的幂零根是R本身。域F上的全矩阵环是单环，也是F上的单代数。F上有限维单代数必含单位元。

中心单代数中心单代数亦称正规单代数。结构较清楚的一类重要单代数。若域F上代数A的中心是F本身，则称A为中心代数(正规代数)。中心是F的F单代数称为中心单代数。每一个有单位元的单代数都是其中心上的中心代数，所以有单位元的单代数的研究可归结为对纯量扩张与中心单代数的研究。有限维单代数恒有单位元，所以恒为其中心上的中心单代数。然而域F上无限维单代数A未必有单位元，但此时A的形心是域，设为C，通常称A为C(特别地C=F时)上中心单代数。当A有单位元时，A的形心就是A的中心.任何单环都是形心上中心单代数。

交换代数以交换环为主要研究对象的一门代数学科。它是以代数数论和代数几何学为背景而产生与发展的，并为这两个古老的数学分支提供了新的统一的工具。

18世纪末到19世纪中期，高斯和库默尔等人在研究关于有理整数性质和方程的有理整数解的时候，把这些初等数论问题放在二次域、分圆域以及它们的代数整数环中进行考虑，经过戴德金和希尔伯特等人的抽象化和系统化，形成了研究代数数域和它的代数整数环的一个新学科，即代数数论。1882年戴德金提出的理想与素理想的概念为一维交换代数奠定了基础。比数论稍晚些时候，几何学也经历了代数化的过程，多维交换代数开始在代数几何中形成。从19世纪末开始，由于希尔伯特等人的工作，特别是20世纪20—30年代德国数学家A.E.诺特关于理想理论和克鲁尔建立的赋值论、局部环理论和维数理论，为古典几何提供了全新的代数工具。从此，交换代数成为一门独立的学科。

20世纪50年代以后，交换代数得到很大发展，模论的研究，同调代数和各种上同调理论的建立，特别是法国数学家格罗唐迪克的概形理论，对于交换代数的发展起了巨大的推动作用。利用概形理论，比利时数学家德利涅于20世纪70年代初证明了著名的韦伊猜想。

现在，交换代数的运用，已深入到微分拓扑与代数拓扑、多复变函数论、奇点理论，甚至偏微分方程等学科。

域论域论（Field Theory）是抽象代数的分支，是不少学科的基础，是代数学中最基本的概念之一，且历史悠久。研究域的性质，简单地说，一个域是在其上有"加法"、"减法"、"乘法"和"除法"的代数结构。

域是许多数学分支(如代数、代数数论、代数几何等)研究的基础，而有限域则在近代编码、正交试验设计和计算机理论中都有重要应用，通过理想来研究环，这是研究环的基本方法。但是，由于域只有平凡理想，因此无法通过域的理想来研究域，要研究域，必须采取别的方法，其中最基本的方法就是通过对域添加若干元进行扩张，域的扩张起源于数域的扩张。2

早在19世纪初，伽罗华在研究代数方程的著作里就出现了域的概念的萌芽，后来戴德金(J.W.R.Dedekind)和克罗内克(L.Kronecker)在不同背景下也提出了域的概念。系统研究域的理论始于韦伯(H.Weber)，而域的公理系统是迪克森(L.E.Dickson)和亨廷顿(E.V.Huntington)分别于1903和1905年独立创立的。在韦伯等人的影响下，施泰尼茨(E.Steinitz)对抽象域进行了系统研究，于1910年发表论文“域的代数理论”，对域论本身以及相关科学的发展产生重大影响。

域的概念最初被阿贝尔和伽罗瓦隐含地用于他们各自对方程的可解性的工作上。

1871年，理查德·戴德金将对于四则运算封闭的实数或复数集称为“域”。

1881年，利奥波德·克罗内克定义了“有理域”（英文：domain of rationality，德文：Rationalitäts-Bereich），相当于今称之数域。

1893年，安里西·韦伯给出抽象域的首个清晰定义。

1910年，施泰尼茨于1911年发表了论文《域的代数理论》（英文：Algebraic Theory of Fields、德文：Algebraische Theorie der Körper）。论文中他以公理化的方式研究了域的性质并给出了多个域的有关术语，比如素域、完全域，和域扩张的超越次数。

虽然伽罗瓦并未提出域的概念，但一般被誉为是首个将群论和域论连系起来的数学家，伽罗瓦理论便以他命名。事实上，埃米尔·阿廷在1928至42年间才将群和域的关系大大地发展。3