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概念

微分环(differential ring)是带导子集的环。若环R有一个导子集合Δ，则Δ称为R的微分系，R称为有微分系Δ的环，或简称微分环或Δ环。设S是有微分系Δ的环R的子环，若S也是有微分系Δ的环，则S称为R的微分子环，或Δ子环，而R称为S的微分扩环。R至少有两个Δ子环{0}和R，称为R的平凡微分子环。其余的微分子环称为非平凡微分子环，或真微分子环。有微分系Δ的环R的子环S是Δ子环的充分必要条件是：a∈S，δ∈Δ，有δa∈S.Δ={δ}时，Δ环及Δ子环分别记为δ环，δ子环。

导子导子是从数学分析中移植于代数系统，用于讨论一般可分扩张的一种运算。设L是K的扩域，映射D：K→L，若满足：

则称D是K的一个L值导子.在L=K时，或不需要特别强调某个L时，可以径称导子.若K/F是域扩张，K的求导D在F上的限制D′=D|F是F的求导，则称D是D′在K上的拓展。对特征p≠0的域F，K/F成为可分扩张，当且仅当F的每个导子都能拓展为K的导子。

环环是对并与差运算封闭的集类，测度论中重要概念之一。设F是Ω上的一个非空集类。如果它对集的并及差运算封闭，即对任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，则称F为Ω上的环。例如，若F是由实直线R上任意有限个左开右闭的有限区间的并集

的全体构成的集类，则F是R上的一个环。环也是对于交与对称差运算封闭的集类，并按这两种运算成为布尔环。要把R上的勒贝格测度和勒贝格-斯蒂尔杰斯测度以及相应的积分理论推广到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集类并研究其性质。环以及半环、σ环、代数、σ代数等重要集类正是为了这一目的而引入的。

微分微分是微积分的重要概念之一。设函数y=f (x)在点x0的某个邻域内有定义。若函数y=f(x) 在点x0的改变量Δy可以表示为：1

Δy =AΔx +o(Δx)， (1)

其中A与Δx无关而与x0有关，则称函数f (x)在点x0可微，ΔAx称为函数f (x)在点x0的微分，记作dy |x=x0= AΔx。

微分具有以下两个特点：

① dy=AΔx是Δx的线性函数，表达式简单。

上述的两个特点表明，微分dy是Δy的既简单而又具有一定精确度的近似表达式。

函数f(x)在点x0可微的充分必要条件是f(x)在点x0可导，且 (1) 中的A等于f′ (x0)。

这表明，一元函数的可导与可微是等价的。函数y=f (x)在点x0的微分可表示为dy|x=x0= f′ (x0) Δx。

若函数y=f (x)在区间I上的每一点都可微，则称f (x)为I上的可微函数。函数y=f (x)在区间I上的微分记作dy=f′ (x)Δx。d y既依赖于x，又依赖于Δx，而x与Δx是互相独立的两个变量。

通常约定，自变量x的微分dy=Δx。于是，

d y =f′ (x)dx，

从而有：

记号dy/dx具有双重意义。作为整体记号，它表示f (x)的导数f′ (x);作为运算记号，它表示函数的微分与自变量微分之比。因此，导数也称为微商。

环论抽象代数学的主要分支之一。它是具有两个运算的代数系。在非空集合R中定义加法“+”和乘法“·”运算，使得R中任意元a，b，c适合条件：2

1.R对加法为交换群，称为R的加法群，记为(R，+);

2.R对乘法适合结合律，即(R，·)是半群，称为R的乘法半群;

3.乘法对加法的左、右分配律成立，即：

a·(b+c)=a·b+a·c (左分配律)，

(b+c)·a=b·a+c·a (右分配律);

则称R为结合环，简称环(通常a·b写为ab)。它是环论研究的主要对象。环论起源于19世纪关于实数域的扩张与分类，以及戴德金(Dedekind，J.W.R.)、哈密顿(Hamilton，W.R.)等人对超复数系的建立和研究。韦德伯恩(Wedderburn，J.H.M.)于1907年给出的结构定理给出代数研究的模式，也成为环结构研究的模式。20世纪20-30年代，诺特(Noether，E.)建立了环的理想理论，阿廷(Artin，E.)又将代数结构定理推广到有极小条件的环。同时，对非极小条件的环，冯·诺伊曼(von Nenmann，H.)建立了正则环理论，相继盖尔范德(Гельфанд，И.М.)创立了赋值环，克鲁尔(Krull，W.)建立了局部环理论，以及哥尔迪(Goldie，A.W.)完善了极大条件环理论。

20世纪40年代，根论迅速发展，尤其是雅各布森(Jacobson，N.)于1945年引入的被称为雅各布森根的概念后，建立了本原环理论、半本原环的结构定理与本原环的稠密性定理，完善和深化了不带附加条件环的理论。20世纪50年代中期，阿密苏(Amitsur，S.A.)、库洛什(Kurosh，A.)创立了根的一般理论，环论已趋完善。

另一方面，由群表示研究的影响，产生模、群环与分次环的理论.20世纪20年代初，诺特引入了模的概念，并研究模对有限群表示的作用与环结构之间的关系，用模的语言去刻画环，特别是20世纪50年代以后，同调代数的迅速发展，使环的理论进入更高层次虽然，早在1854年，凯莱(Cayley，A.)就引入了群代数，然而，它的研究是从20世纪30年代开始直到60—70年代，受群表示论与环的理论的推动才蓬勃发展起来的。20世纪70年代后，由于分次代数的推动，群代数进入新的阶段——交叉积的研究。分次环与模发展的另一动力是交换代数几何中射影代数簇，20世纪70年代以来，由于非交换代数几何及群表示论的推动，环论已进入一个新的阶段。

若环R的乘法适合交换律，则称R为交换环。乘法半群的左(右)单位元，称为环R的左(右)单位元。乘法半群的单位元称为环R的单位元。(R，+)的零元称为环R的零元。在一个元构成的环中，零元是单位元，但两个以上的元构成的环中，零元一定不是单位元.环R的一个非空子集合S，若对R的加法、乘法也构成环，则称S是R的子环。S是R的子环当且仅当对任意a，b∈S恒有a-b∈S，ab∈S。

比结合环条件较弱的是非结合环，非结合环与代数受量子力学的刺激发展起来，但其研究的方法和思路基本上沿着结合环的格式，并早已趋完整。比结合环更弱的环类是拟环与半环，虽然早在20世纪40年代，就分别由扎森豪斯(Zassenhaus，H.)和范迪维尔(Vandiver，H.S.)提出，但它们的发展是20世纪60年代以来，受自然科学和数学其他分支(如非线性同调代数、非线性几何、泛函分析、组合数学、动力系统和计算机科学)的推动而迅速成熟起来的，现已成为环论的独立分支。3